体積が $144 \text{cm}^3$ の円錐を、底面に平行な平面で切断したとき、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が $2:1$ であった。このとき、上の部分の円錐の体積を求める。

1. 問題の内容

体積が $144 \text{cm}^3$ の円錐を、底面に平行な平面で切断したとき、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が $2:1$ であった。このとき、上の部分の円錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

円錐を底面に平行な平面で切断したとき、できる上の部分の円錐は元の円錐と相似になります。相似比は、半径の比と同じ $1:2$ です。

体積比は、相似比の3乗に等しいので、上の部分の円錐と元の円錐の体積比は $1^3:2^3 = 1:8$ となります。

元の円錐の体積が $144 \text{cm}^3$ なので、上の部分の円錐の体積を $V$ とすると、

$$V:144 = 1:8$$

$$8V = 144$$

$$V = \frac{144}{8}$$

$$V = 18$$

したがって、上の部分の円錐の体積は $18 \text{cm}^3$ です。

3. 最終的な答え

$18 \text{ cm}^3$