点Pが点Aを出発し、三角形ABCの辺上をBを通ってCまで毎秒2cmで移動するとき、点Pが出発してからx秒後の三角形APCの面積をy cm²とする。 (1) x, yの関係について、変域に応じてyをxの式で表す。 (2) 三角形APCの面積が20 cm²となるのは、点Pが出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

点Pが点Aを出発し、三角形ABCの辺上をBを通ってCまで毎秒2cmで移動するとき、点Pが出発してからx秒後の三角形APCの面積をy cm²とする。

(1) x, yの関係について、変域に応じてyをxの式で表す。

(2) 三角形APCの面積が20 cm²となるのは、点Pが出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 区間0 ≤ x ≤ ア のとき：

点Pは辺AB上にある。AB = 6 cmなので、点PがAからBに到達するのにかかる時間は、$\frac{6}{2} = 3$ 秒である。よって、ア = 3。

三角形APCの面積yは、$y = \frac{1}{2} \times AP \times BC = \frac{1}{2} \times (6 - 2x) \times 10 = 5(6 - 2x) = 30 - 10x$となる。

したがって、イ = $30 - 10x$。

* 区間 ア ≤ x ≤ ウ のとき：

点Pは辺BC上にある。BC = 10 cmなので、点PがBからCに到達するのにかかる時間は、$\frac{10}{2} = 5$ 秒である。よって、BからCまで5秒かかるから、ウ = 3 + 5 = 8。

三角形APCの面積yは、$y = \frac{1}{2} \times AP \times AB = \frac{1}{2} \times (2x - 6) \times 6 = 3(2x-6) = \frac{1}{2} \times AC \times 高さ$とはならない。高さではなく、APを底辺とするならば、$y = \frac{1}{2} \times PC \times AB = \frac{1}{2} \times (10 - (2x-6)) \times 6 = 3(16 - 2x) = 48 - 6x$。

したがって、エ = $48 - 6x$。

(2)

三角形APCの面積が20 cm²となるのは、以下の2つの場合に分けて考える。

* 区間0 ≤ x ≤ 3 のとき：

$30 - 10x = 20$を解くと、$10x = 10$より、$x = 1$。

* 区間3 ≤ x ≤ 8 のとき：

$48 - 6x = 20$を解くと、$6x = 28$より、$x = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$。

3. 最終的な答え

(1)

ア = 3

イ = $30 - 10x$

ウ = 8

エ = $48 - 6x$

(2)

オ = 1

カ = $\frac{14}{3}$