$\alpha$は第2象限の角、$\beta$は第3象限の角である。$\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\beta = -\frac{5}{13}$のとき、$\sin(\alpha + \beta)$の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$は第2象限の角、$\beta$は第3象限の角である。$\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\beta = -\frac{5}{13}$のとき、$\sin(\alpha + \beta)$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos\alpha$と$\sin\beta$を求める。

$\alpha$は第2象限の角なので、$\cos\alpha < 0$。$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

よって、$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

$\beta$は第3象限の角なので、$\sin\beta < 0$。$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$より、

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

よって、$\sin\beta = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$

次に、$\sin(\alpha + \beta)$を加法定理を用いて計算する。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \times (-\frac{5}{13}) + (-\frac{4}{5}) \times (-\frac{12}{13})$

$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{33}{65}$