楕円 $(x-1)^2 + \frac{y^2}{9} = 1$ を極方程式で表す問題です。ただし、$x$ と $y$ を極座標で表す際に、選択肢から適切なものを選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

楕円 $(x-1)^2 + \frac{y^2}{9} = 1$ を極方程式で表す問題です。ただし、$x$ と $y$ を極座標で表す際に、選択肢から適切なものを選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を極座標で表します。

$x = r\cos\theta$ と $y = r\sin\theta$ です。

したがって、1の解答は $r\cos\theta$ であり、選択肢③です。

2の解答は $r\sin\theta$ であり、選択肢④です。

これを元の式に代入します。

$(r\cos\theta - 1)^2 + \frac{(r\sin\theta)^2}{9} = 1$

$r^2\cos^2\theta - 2r\cos\theta + 1 + \frac{r^2\sin^2\theta}{9} = 1$

$r^2\cos^2\theta - 2r\cos\theta + \frac{r^2\sin^2\theta}{9} = 0$

$9r^2\cos^2\theta - 18r\cos\theta + r^2\sin^2\theta = 0$

$r^2(9\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 18r\cos\theta = 0$

$r^2(8\cos^2\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta) - 18r\cos\theta = 0$

$r^2(8\cos^2\theta + 1) - 18r\cos\theta = 0$

$r[(1 + 8\cos^2\theta)r - 18\cos\theta] = 0$

$r=0$ または $(1 + 8\cos^2\theta)r - 18\cos\theta = 0$

$r = \frac{18\cos\theta}{1 + 8\cos^2\theta}$

問題文中の式と比較すると以下のようになります。

$(3 + 4\cos^2\theta)r^2 - 5|6 r\cos\theta = 0$

$r\{(3 + 4\cos^2\theta)r - 5|6\cos\theta\} = 0$

よって、$3$ は $1$, $4$ は $8$, $5|6$ は $18$, $7$ は $0$, $8|9$ は $18$, $10$ は $1$, $11$ は $8$ です。

3. 最終的な答え

1: ③

2: ④