与えられた双曲線の式 $x^2 - 6x - 4y^2 + 16y - 11 = 0$ を変形し、標準形を求め、双曲線の概形を選択肢から選びます。空欄10から15を埋めます。

1. 問題の内容

与えられた双曲線の式 $x^2 - 6x - 4y^2 + 16y - 11 = 0$ を変形し、標準形を求め、双曲線の概形を選択肢から選びます。空欄10から15を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を平方完成します。

$x^2 - 6x - 4y^2 + 16y - 11 = 0$

$(x^2 - 6x) - 4(y^2 - 4y) - 11 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) - 9 - 4(y^2 - 4y + 4) + 16 - 11 = 0$

$(x - 3)^2 - 4(y - 2)^2 - 9 + 16 - 11 = 0$

$(x - 3)^2 - 4(y - 2)^2 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 - 4(y - 2)^2 = 4$

両辺を4で割ると、

$\frac{(x - 3)^2}{4} - \frac{(y - 2)^2}{1} = 1$

したがって、

10: 3

11: 4

12: 2

13: 4

14: 4

この双曲線は、中心が(3, 2)で、x軸方向に開いている双曲線です。

a=2, b=1なので、漸近線は $y-2 = \pm \frac{1}{2} (x-3)$ です。

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ と $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

10: 3

11: 4

12: 2

13: 4

14: 4

15: ②