球面 $S: x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y = 0$ について以下の問いに答える。 (1) 球面 $S$ の中心と半径を求める。 (2) 球面 $S$ と直線 $l: x-1 = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ は2点で交わるか、あるいは1点で接するかを判定する。 (3) 球面 $S$ と平面 $P: x+y+z+1=0$ は交わることを示し、その交円の半径を求める。

1. 問題の内容

球面 $S: x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y = 0$ について以下の問いに答える。

(1) 球面 $S$ の中心と半径を求める。

(2) 球面 $S$ と直線 $l: x-1 = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ は2点で交わるか、あるいは1点で接するかを判定する。

(3) 球面 $S$ と平面 $P: x+y+z+1=0$ は交わることを示し、その交円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 球面 $S$ の方程式を平方完成する。

$x^2 + 2x + y^2 + 2y + z^2 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) + z^2 = 1 + 1$

$(x+1)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 2$

よって、中心は $(-1, -1, 0)$、半径は $\sqrt{2}$ である。

(2) 直線 $l: x-1 = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ をパラメータ表示する。$x-1 = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = t$ とおくと、$x = t+1$, $y = 2t$, $z = 3t$ となる。

これを球面 $S$ の方程式に代入する。

$(t+1)^2 + (2t)^2 + (3t)^2 + 2(t+1) + 2(2t) = 0$

$t^2 + 2t + 1 + 4t^2 + 9t^2 + 2t + 2 + 4t = 0$

$14t^2 + 8t + 3 = 0$

この $t$ に関する二次方程式の判別式 $D$ を計算する。

$D = 8^2 - 4 \cdot 14 \cdot 3 = 64 - 168 = -104 < 0$

判別式が負であるため、実数解を持たない。よって、直線 $l$ と球面 $S$ は交わらない。

(3) 球面 $S$ の中心 $(-1, -1, 0)$ と平面 $P: x+y+z+1=0$ との距離 $d$ を求める。

$d = \frac{|(-1) + (-1) + 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

球面の半径 $r = \sqrt{2}$ である。$d = \frac{\sqrt{3}}{3} < \sqrt{2} = r$ であるから、球面 $S$ と平面 $P$ は交わる。

交円の半径を $\rho$ とすると、$r^2 = d^2 + \rho^2$ が成り立つ。

$\rho^2 = r^2 - d^2 = (\sqrt{2})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 2 - \frac{3}{9} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

$\rho = \sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(-1, -1, 0)$, 半径: $\sqrt{2}$

(2) 交わらない

(3) 交円の半径: $\frac{\sqrt{15}}{3}$