点A(3, 1)と点B(1, 2)が与えられたとき、以下の値を求め、証明せよ。 * (1) $|\overrightarrow{OA}|$ と $|\overrightarrow{OB}|$ * (2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ * (3) $\angle AOB$ * (4) $\triangle OAB$ の面積 * (5) 一般に $\triangle OPQ = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OP}|^2|\overrightarrow{OQ}|^2 - (\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ})^2}$ であることを証明せよ。

## 問題５

1. 問題の内容

点A(3, 1)と点B(1, 2)が与えられたとき、以下の値を求め、証明せよ。

* (1) $|\overrightarrow{OA}|$ と $|\overrightarrow{OB}|$

* (2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$

* (3) $\angle AOB$

* (4) $\triangle OAB$ の面積

* (5) 一般に $\triangle OPQ = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OP}|^2|\overrightarrow{OQ}|^2 - (\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ})^2}$ であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $|\overrightarrow{OA}|$ と $|\overrightarrow{OB}|$ を求める。

ベクトルの大きさは、各成分の2乗の和の平方根で計算される。

$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

$|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

(2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ を求める。

ベクトルの内積は、対応する成分の積の和で計算される。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (3)(1) + (1)(2) = 3 + 2 = 5$

(3) $\angle AOB$ を求める。

$\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|}$の関係を利用する。

$\cos{\angle AOB} = \frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\angle AOB = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$

(4) $\triangle OAB$ の面積を求める。

$\triangle OAB = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}| \sin{\angle AOB}$の関係を利用する。

$\triangle OAB = \frac{1}{2} \sqrt{10} \sqrt{5} \sin{45^{\circ}} = \frac{1}{2}\sqrt{50}\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}5\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2}$

または、

$\triangle OAB = \frac{1}{2}|(3)(2) - (1)(1)| = \frac{1}{2}|6-1| = \frac{5}{2}$

(5) 一般に $\triangle OPQ = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OP}|^2|\overrightarrow{OQ}|^2 - (\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ})^2}$ であることを証明する。

$\triangle OPQ = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|\sin{\theta}$

$(\triangle OPQ)^2 = \frac{1}{4}|\overrightarrow{OP}|^2|\overrightarrow{OQ}|^2\sin^2{\theta}$

$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - (\frac{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|})^2$

$(\triangle OPQ)^2 = \frac{1}{4}|\overrightarrow{OP}|^2|\overrightarrow{OQ}|^2(1 - (\frac{\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|})^2)$

$(\triangle OPQ)^2 = \frac{1}{4}(|\overrightarrow{OP}|^2|\overrightarrow{OQ}|^2 - (\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ})^2)$

$\triangle OPQ = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OP}|^2|\overrightarrow{OQ}|^2 - (\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ})^2}$

3. 最終的な答え

* (1) $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{10}$, $|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{5}$

* (2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 5$

* (3) $\angle AOB = 45^{\circ}$

* (4) $\triangle OAB = \frac{5}{2}$

* (5) $\triangle OPQ = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OP}|^2|\overrightarrow{OQ}|^2 - (\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ})^2}$ であることを証明した。