空間内の幾何ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ を2隣辺とする平行四辺形を考える。$\vec{a}$ から $\vec{b}$ に向かう角を $\theta$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ を $||\vec{a}||$, $||\vec{b}||$, $\theta$ で表せ。 (2) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ を $\vec{a}, \vec{b}$ の成分で表せ。 (3) $(\vec{a} \times \vec{b})^2$ を行列式で表せ。

1. 問題の内容

空間内の幾何ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ を2隣辺とする平行四辺形を考える。$\vec{a}$ から $\vec{b}$ に向かう角を $\theta$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ を $||\vec{a}||$, $||\vec{b}||$, $\theta$ で表せ。

(2) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ を $\vec{a}, \vec{b}$ の成分で表せ。

(3) $(\vec{a} \times \vec{b})^2$ を行列式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| ||\vec{b}|| \cos\theta$ を用いる。

$||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (||\vec{a}|| ||\vec{b}|| \cos\theta)^2 = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 (1 - \cos^2\theta) = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 \sin^2\theta$

(2) ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ とする。

$||\vec{a}||^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$, $||\vec{b}||^2 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

$||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2 \\ = a_1^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_1^2b_3^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 + a_2^2b_3^2 + a_3^2b_1^2 + a_3^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 - (a_1^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 + 2a_1b_1a_2b_2 + 2a_1b_1a_3b_3 + 2a_2b_2a_3b_3) \\ = a_1^2b_2^2 + a_1^2b_3^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_3^2 + a_3^2b_1^2 + a_3^2b_2^2 - 2a_1b_1a_2b_2 - 2a_1b_1a_3b_3 - 2a_2b_2a_3b_3 \\ = (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2$

(3) ベクトルの外積は $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$ である。

$(\vec{a} \times \vec{b})^2 = ||\vec{a} \times \vec{b}||^2 = (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2$

(2)の結果から $(\vec{a} \times \vec{b})^2 = (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2 = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

(1)より $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 \sin^2\theta = \begin{vmatrix} ||\vec{a}||^2 & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & ||\vec{b}||^2 \end{vmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 \sin^2\theta$

(2) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2$

(3) $(\vec{a} \times \vec{b})^2 = \begin{vmatrix} ||\vec{a}||^2 & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & ||\vec{b}||^2 \end{vmatrix}$