空間内の幾何ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形を考える。$\vec{a}$ から $\vec{b}$ に向かう角を $\theta$ とする。ベクトル $\vec{a}$ は $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$, ベクトル $\vec{b}$ は $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ で表される。 (1) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ を $||\vec{a}||$, $||\vec{b}||$, $\theta$ で表せ。 (2) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ を $a, b$ の成分で表せ。 (3) $(\vec{a} \times \vec{b})^2$ を行列式で表せ。

1. 問題の内容

空間内の幾何ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形を考える。$\vec{a}$ から $\vec{b}$ に向かう角を $\theta$ とする。ベクトル $\vec{a}$ は $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$, ベクトル $\vec{b}$ は $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ で表される。

(1) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ を $||\vec{a}||$, $||\vec{b}||$, $\theta$ で表せ。

(2) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ を $a, b$ の成分で表せ。

(3) $(\vec{a} \times \vec{b})^2$ を行列式で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、内積の定義から $\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| ||\vec{b}|| \cos\theta$ である。よって、

$$||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (||\vec{a}|| ||\vec{b}|| \cos\theta)^2 = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 (1 - \cos^2\theta) = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 \sin^2\theta$$

(2)

$||\vec{a}||^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$

$||\vec{b}||^2 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

なので、

$$||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$$

$$= (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2$$

(3)

ベクトル $\vec{a} \times \vec{b}$ は次のように計算できる。

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$$

よって、

$$(\vec{a} \times \vec{b})^2 = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2$$

(2)の結果より、$(\vec{a} \times \vec{b})^2 = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ である。

行列式で表すことを考える。

$\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta = 1 - \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2}$

$\vec{a} \times \vec{b} = ||\vec{a}|| ||\vec{b}|| \sin\theta$

$\begin{vmatrix} ||\vec{a}||^2 & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & ||\vec{b}||^2 \end{vmatrix} = ||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

3. 最終的な答え

(1) $||\vec{a}||^2 ||\vec{b}||^2 \sin^2\theta$

(2) $(a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2$

(3) $\begin{vmatrix} ||\vec{a}||^2 & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & ||\vec{b}||^2 \end{vmatrix}$