(1) $\theta$は鋭角で、$\cos \theta = \frac{3}{5}$のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求める。 (2) 次のような$\triangle ABC$において、指定されたものを求める。 ① $A = 120^\circ$, 外接円の半径 $R = 10$のとき、$a$を求める。 ② $b=5$, 外接円の半径 $R = 5$のとき、$B$を求める。 ③ $a = 4$, $b = 2\sqrt{3}$, $C = 30^\circ$のとき、$c$を求める。

幾何学三角比正弦定理余弦定理三角関数三角形
2025/7/8

1. 問題の内容

(1) θ\thetaは鋭角で、cosθ=35\cos \theta = \frac{3}{5}のとき、sinθ\sin \thetatanθ\tan \thetaの値を求める。
(2) 次のようなABC\triangle ABCにおいて、指定されたものを求める。
A=120A = 120^\circ, 外接円の半径 R=10R = 10のとき、aaを求める。
b=5b=5, 外接円の半径 R=5R = 5のとき、BBを求める。
a=4a = 4, b=23b = 2\sqrt{3}, C=30C = 30^\circのとき、ccを求める。

2. 解き方の手順

(1) sin2θ+cos2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1より、sin2θ=1cos2θ\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \thetaである。
θ\thetaは鋭角なので、sinθ>0\sin \theta > 0である。
sinθ=1cos2θ=1(35)2=1925=1625=45\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
tanθ=sinθcosθ=4535=43\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}
(2)
① 正弦定理より、asinA=2R\frac{a}{\sin A} = 2Rである。
a=2RsinA=210sin120=2032=103a = 2R \sin A = 2 \cdot 10 \cdot \sin 120^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}
② 正弦定理より、bsinB=2R\frac{b}{\sin B} = 2Rである。
sinB=b2R=525=12\sin B = \frac{b}{2R} = \frac{5}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2}
B=30B = 30^\circまたは150150^\circ
③ 余弦定理より、c2=a2+b22abcosCc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos Cである。
c2=42+(23)22423cos30=16+1216332=281632=2824=4c^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 16 + 12 - 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 28 - 16 \cdot \frac{3}{2} = 28 - 24 = 4
c=4=2c = \sqrt{4} = 2 (∵ c>0c>0)

3. 最終的な答え

(1) sinθ=45\sin \theta = \frac{4}{5}, tanθ=43\tan \theta = \frac{4}{3}
(2)
a=103a = 10\sqrt{3}
B=30B = 30^\circまたは150150^\circ
c=2c = 2

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