$r > 0$ とする。$xy$ 平面上の放物線 $y = x^2 - 1$ と円 $x^2 + y^2 = r^2$ の共有点の個数が最大となる $r$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$r > 0$ とする。$xy$ 平面上の放物線 $y = x^2 - 1$ と円 $x^2 + y^2 = r^2$ の共有点の個数が最大となる $r$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線と円の式から $x, y$ を消去して、共有点の個数を調べる。

まず、$y = x^2 - 1$ より $x^2 = y + 1$ である。

これを円の式 $x^2 + y^2 = r^2$ に代入すると、

$y + 1 + y^2 = r^2$

$y^2 + y + (1 - r^2) = 0$

この $y$ に関する2次方程式の解の個数が共有点の個数に影響する。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = 1^2 - 4(1 - r^2) = 1 - 4 + 4r^2 = 4r^2 - 3$

$D > 0$ のとき、異なる2つの実数解 $y_1, y_2$ を持つ。

$D = 0$ のとき、重解を持つ。

$D < 0$ のとき、実数解を持たない。

ここで注意が必要なのは、$y = x^2 - 1$ より $y \ge -1$ でなければならない。

$y^2 + y + (1 - r^2) = 0$ の解を $y = \frac{-1 \pm \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$ とする。

共有点の個数が最大になるのは、$y_1, y_2 > -1$ のとき、 $x^2 = y_1 + 1$と $x^2 = y_2 + 1$ がそれぞれ2つの実数解を持つので、共有点は4個となる。

$y_1 > -1$ かつ $y_2 = -1$ のとき、共有点は3個となる。

$y_1 > -1$ かつ $-1 > y_2$ のとき、共有点は2個となる。

$y_1 = y_2 = -1$ のとき、共有点は2個となる。

$y_1, y_2 < -1$ のとき、共有点はない。

共有点の個数が最大となるのは4個のときである。

$y^2 + y + (1 - r^2) = 0$ の2つの解が $y_1, y_2 > -1$ となる条件は、

(i) $D > 0$ つまり $4r^2 - 3 > 0$

(ii) 解の和 $y_1 + y_2 = -1 > -2$

(iii) 解の積 $y_1 y_2 = 1 - r^2 > 1$

$y = -1$ のとき、 $(-1)^2 + (-1) + (1 - r^2) > 0$ から $1 - r^2 > 0$ を満たさなければならない。

$f(y) = y^2 + y + 1 - r^2$ とすると、軸は $y = -\frac{1}{2}$。

$f(-1) = (-1)^2 + (-1) + 1 - r^2 = 1 - r^2$

$f(-1) > 0$ より $r^2 < 1$ であり、 $0 < r < 1$

$4r^2 - 3 > 0$ より $r^2 > \frac{3}{4}$ であり、$r > \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r > 0$ より $y_1, y_2 > -1$ であるためには、$f(-1) > 0$ であり、 $1 - r^2 > 0$ より、$0 < r < 1$。

このとき、$D = 4r^2 - 3 > 0$ となるのは $r > \frac{\sqrt{3}}{2}$ のときである。

したがって、$\frac{\sqrt{3}}{2} < r < \sqrt{2}$

放物線と円が接する時を考える。

円の中心から放物線までの距離が $r$ となるときを考える。

$y^2 + y + (1 - r^2) = 0$ が重解を持つとき、

$D = 4r^2 - 3 = 0$ より、$r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

このとき、$y = -\frac{1}{2} > -1$ であり、$x^2 = y + 1 = \frac{1}{2}$ より、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

2つの共有点を持つ。

次に、$y = -1$ を代入すると、 $x^2 = 0$ より $x = 0$

$x^2 + y^2 = 0 + 1 = r^2$ より、$r = 1$

$f(y) = y^2 + y = 0$ より $y = 0, -1$

$y = 0$ のとき $x^2 = 1$ より $x = \pm 1$

$y = -1$ のとき $x = 0$

3つの共有点を持つ。

次に、$y = 1$ を代入すると、$x^2 = 2$ より $x = \pm \sqrt{2}$

$x^2 + y^2 = 2 + 1 = r^2$ より $r = \sqrt{3}$

$y^2 + y + (1 - 3) = 0$ より $y^2 + y - 2 = 0$

$(y - 1)(y + 2) = 0$ より $y = 1, -2$

$y > -1$ より $y = 1$ のみ

2つの共有点を持つ。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{2} < r < \sqrt{2}$