$r > 0$ とする。xy平面上の放物線 $y = x^2 - 1$ と円 $x^2 + y^2 = r^2$ の共有点の個数が最大になるような $r$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$r > 0$ とする。xy平面上の放物線 $y = x^2 - 1$ と円 $x^2 + y^2 = r^2$ の共有点の個数が最大になるような $r$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2 - 1$ と円 $x^2 + y^2 = r^2$ の交点を求める。

$x^2 = y + 1$ を $x^2 + y^2 = r^2$ に代入して、

$y + 1 + y^2 = r^2$

$y^2 + y + (1 - r^2) = 0$

この2次方程式の判別式をDとすると、

$D = 1^2 - 4(1 - r^2) = 1 - 4 + 4r^2 = 4r^2 - 3$

この2次方程式の解は、$y = \frac{-1 \pm \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$ である。

$y = x^2 - 1$ より、$y \geq -1$ である。

$y = \frac{-1 - \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$ について、$\frac{-1 - \sqrt{4r^2 - 3}}{2} \geq -1$ を満たす必要があるので、

$-1 - \sqrt{4r^2 - 3} \geq -2$

$1 \geq \sqrt{4r^2 - 3}$

$1 \geq 4r^2 - 3$

$4 \geq 4r^2$

$1 \geq r^2$

$-1 \leq r \leq 1$

$r > 0$ より、$0 < r \leq 1$

$y = \frac{-1 + \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$ について、$\frac{-1 + \sqrt{4r^2 - 3}}{2} \geq -1$ を満たす。

共有点の個数が最大となるのは、2次方程式が2つの異なる実数解を持つときである。

したがって、$D = 4r^2 - 3 > 0$ より、$4r^2 > 3$

$r^2 > \frac{3}{4}$

$r > \frac{\sqrt{3}}{2}$

また、$y < r$ でなければならない。

$y = \frac{-1 + \sqrt{4r^2 - 3}}{2} < r$

$-1 + \sqrt{4r^2 - 3} < 2r$

$\sqrt{4r^2 - 3} < 2r + 1$

$4r^2 - 3 < 4r^2 + 4r + 1$

$-3 < 4r + 1$

$-4 < 4r$

$-1 < r$

共有点が4つになる条件は、2つの異なる$y$の値に対して、それぞれ2つの$x$の値が存在することである。

$y = x^2 - 1$ より、$x = \pm \sqrt{y + 1}$ である。

$y > -1$ の範囲に2つの異なる解を持つ必要がある。

$r > \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y$ の解は2つ存在する。

$y_1 = \frac{-1 - \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$

$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$

$y_1 > -1$ のとき、$0 < r \leq 1$

$y_2 > -1$ は常に成り立つ。

$-1 < y_1 < y_2 < r$ を満たす必要がある。

$r = \sqrt{2}$ のとき、共有点は4つになる。

最終的には、放物線と円が接する条件から考えるのが良い。放物線と円が接する時、2つの共有点が一致し、共有点の個数は3となる。

放物線と円が4つの共有点を持つためには、$r$ はある範囲にある必要がある。

共有点の個数が最大となるのは、放物線と円が4つの交点を持つ場合である。これは、$r = \sqrt{2}$ 付近で発生する。

$y^2 + y + 1 - r^2 = 0$

$r > \frac{\sqrt{3}}{2}$

放物線の頂点(0, -1) が円の内部にある時、共有点は4つになる可能性がある。

頂点までの距離がrより小さいとき、$r > 1$

したがって、$1 < r < \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$1 < r < \sqrt{2}$