与えられた式を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。 (1) $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ (2) $\sin \theta - \cos \theta$

1. 問題の内容

与えられた式を $r \sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

(1) $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$

(2) $\sin \theta - \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ を変形します。

$r \sin(\theta + \alpha) = r (\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin \theta + (r \sin \alpha) \cos \theta$

$\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = (r \cos \alpha) \sin \theta + (r \sin \alpha) \cos \theta$

$r \cos \alpha = \sqrt{3}$

$r \sin \alpha = 1$

$r^2 = (r \cos \alpha)^2 + (r \sin \alpha)^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$r = 2$ ($r > 0$ より)

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \alpha = \frac{1}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{6}$

(2) $\sin \theta - \cos \theta$ を変形します。

$r \sin(\theta + \alpha) = r (\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin \theta + (r \sin \alpha) \cos \theta$

$\sin \theta - \cos \theta = (r \cos \alpha) \sin \theta + (r \sin \alpha) \cos \theta$

$r \cos \alpha = 1$

$r \sin \alpha = -1$

$r^2 = (r \cos \alpha)^2 + (r \sin \alpha)^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$

$r = \sqrt{2}$ ($r > 0$ より)

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $2 \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

(2) $\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$