ある加工品の不良率は過去のデータから4%である。加工法の一部変更に伴い、150個の製品を検査した結果、不良品が11個であった。母集団比率 $p$ の95%信頼区間を求める。

## 問3

1. 問題の内容

ある加工品の不良率は過去のデータから4%である。加工法の一部変更に伴い、150個の製品を検査した結果、不良品が11個であった。母集団比率 $p$ の95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

母集団比率の信頼区間を求める問題である。標本比率を $\hat{p}$、標本サイズを $n$ とすると、95%信頼区間は以下の式で求められる。

$\hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$z$ は標準正規分布の97.5%点であり、$z \approx 1.96$ である。

まず、標本比率 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{11}{150} \approx 0.0733$

次に、信頼区間の幅を計算する。

$1.96 \sqrt{\frac{0.0733(1-0.0733)}{150}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.0733 \times 0.9267}{150}} \approx 1.96 \sqrt{0.000452} \approx 1.96 \times 0.02126 \approx 0.0417$

したがって、95%信頼区間は、

$0.0733 \pm 0.0417$

3. 最終的な答え

(0.0316, 0.1150)

つまり、(3.16%, 11.50%)

## 問4

1. 問題の内容

ある都市においてテレビの視聴率の調査を男女別に行った。男性200人、女性250人を無作為に選んで、ある番組を見たかどうか聞いたところ、男性は40人、女性は32人が見たと答えた。この番組の視聴率は男女で差があるといえるか、有意水準5%で検定する。

2. 解き方の手順

視聴率の差の検定を行う。

帰無仮説：男女の視聴率に差がない。

対立仮説：男女の視聴率に差がある。

男性の視聴率を $p_1$、女性の視聴率を $p_2$ とする。

男性の標本比率 $\hat{p_1} = \frac{40}{200} = 0.2$

女性の標本比率 $\hat{p_2} = \frac{32}{250} = 0.128$

まず、プールされた標本比率 $\bar{p}$ を計算する。

$\bar{p} = \frac{40+32}{200+250} = \frac{72}{450} = 0.16$

次に、検定統計量 $z$ を計算する。

$z = \frac{\hat{p_1} - \hat{p_2}}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$

$z = \frac{0.2 - 0.128}{\sqrt{0.16(1-0.16)(\frac{1}{200} + \frac{1}{250})}} = \frac{0.072}{\sqrt{0.16(0.84)(\frac{1}{200} + \frac{1}{250})}} = \frac{0.072}{\sqrt{0.1344(0.005 + 0.004)}} = \frac{0.072}{\sqrt{0.1344(0.009)}} = \frac{0.072}{\sqrt{0.0012096}} \approx \frac{0.072}{0.03478} \approx 2.07$

有意水準5%の両側検定を行う。棄却域は $|z| > 1.96$ である。

3. 最終的な答え

計算された検定統計量 $z \approx 2.07$ は、棄却域 $|z| > 1.96$ に含まれるため、帰無仮説を棄却する。したがって、有意水準5%で、この番組の視聴率は男女で差があるといえる。