半径3の球に内接する直円錐がある。直円錐の高さは3以上であり、球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離を$x$とするとき、以下の問いに答える。 (1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表せ。 (2) $V$が最大となるときの$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径3の球に内接する直円錐がある。直円錐の高さは3以上であり、球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離を$x$とするとき、以下の問いに答える。

(1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表せ。

(2) $V$が最大となるときの$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直円錐の体積$V$を$x$で表す。

直円錐の底面の半径を$r$、高さを$h$とすると、

$r^2 + x^2 = 3^2$

より、$r^2 = 9 - x^2$となる。

また、直円錐の高さは$h = 3 + x$となる。

したがって、直円錐の体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (9 - x^2)(3 + x)$

$V = \frac{1}{3} \pi (27 + 9x - 3x^2 - x^3)$

(2) $V$が最大となるときの$x$の値を求める。

$V$を$x$で微分すると、

$\frac{dV}{dx} = \frac{1}{3} \pi (9 - 6x - 3x^2) = \pi (3 - 2x - x^2) = -\pi (x^2 + 2x - 3) = -\pi (x + 3)(x - 1)$

$\frac{dV}{dx} = 0$ となるのは、$x = 1$ または $x = -3$ のとき。

ただし、$x$は球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離なので、$0 \le x \le 3$を満たす必要がある。

よって、$x = 1$のみが候補となる。

また、$x = 3$のとき、$V = 0$であり、$x=0$のとき、$V=9\pi$となる。

$\frac{dV}{dx}$ の符号の変化を調べると、

$0 \le x < 1$のとき、$\frac{dV}{dx} > 0$

$1 < x \le 3$のとき、$\frac{dV}{dx} < 0$

したがって、$x = 1$のとき、$V$は極大値をとる。

$x=1$のとき、$V = \frac{1}{3} \pi (9 - 1)(3 + 1) = \frac{1}{3} \pi (8)(4) = \frac{32}{3} \pi$

これは、$x=0$のときの値$9\pi = \frac{27}{3}\pi$より大きいので、$x=1$で$V$は最大となる。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{1}{3} \pi (9 - x^2)(3 + x) = \frac{1}{3} \pi (27 + 9x - 3x^2 - x^3)$

(2) $x = 1$