5人の生徒に対して行った2種類のテストA, Bの結果が表で与えられています。 (1) テストA, Bそれぞれの標準偏差を小数第1位まで求めます。 (2) テストA, Bの共分散が与えられているとき、テストA, Bの相関係数を小数第1位まで求めます。 (3) (2)で求めた相関係数から、テストA, Bの結果の間の相関関係を選びます。

1. 問題の内容

5人の生徒に対して行った2種類のテストA, Bの結果が表で与えられています。

(1) テストA, Bそれぞれの標準偏差を小数第1位まで求めます。

(2) テストA, Bの共分散が与えられているとき、テストA, Bの相関係数を小数第1位まで求めます。

(3) (2)で求めた相関係数から、テストA, Bの結果の間の相関関係を選びます。

2. 解き方の手順

(1) 標準偏差の計算

テストAの得点: 2, 8, 5, 1, 4

テストBの得点: 5, 10, 3, 4, 8

テストAの平均 $\bar{A}$ を計算します。

$\bar{A} = \frac{2+8+5+1+4}{5} = \frac{20}{5} = 4$

テストAの分散 $V_A$ を計算します。

$V_A = \frac{(2-4)^2 + (8-4)^2 + (5-4)^2 + (1-4)^2 + (4-4)^2}{5} = \frac{4+16+1+9+0}{5} = \frac{30}{5} = 6$

テストAの標準偏差 $S_A$ を計算します。

$S_A = \sqrt{V_A} = \sqrt{6} \approx 2.449$

小数第1位まで四捨五入すると、2.4になります。

テストBの平均 $\bar{B}$ を計算します。

$\bar{B} = \frac{5+10+3+4+8}{5} = \frac{30}{5} = 6$

テストBの分散 $V_B$ を計算します。

$V_B = \frac{(5-6)^2 + (10-6)^2 + (3-6)^2 + (4-6)^2 + (8-6)^2}{5} = \frac{1+16+9+4+4}{5} = \frac{34}{5} = 6.8$

テストBの標準偏差 $S_B$ を計算します。

$S_B = \sqrt{V_B} = \sqrt{6.8} \approx 2.608$

小数第1位まで四捨五入すると、2.6になります。

(2) 相関係数の計算

テストA, Bの共分散 $Cov(A, B)$ が与えられています。$Cov(A, B) = 5.6$

テストAの標準偏差 $S_A = 2.4$

テストBの標準偏差 $S_B = 2.6$

相関係数 $r$ を計算します。

$r = \frac{Cov(A, B)}{S_A \times S_B} = \frac{5.6}{2.4 \times 2.6} = \frac{5.6}{6.24} \approx 0.897$

小数第1位まで四捨五入すると、0.9になります。

(3) 相関関係の選択

相関係数 $r = 0.9$ なので、強い正の相関があると言えます。

3. 最終的な答え

(1) テストAの標準偏差 = 2.4

テストBの標準偏差 = 2.6

(2) 相関係数 = 0.9

(3) 相関関係 = ② 強い正