5人の生徒に対して行われた2種類のテストA, Bの結果が表にまとめられている。 (1) テストA, Bの標準偏差をそれぞれ求める。 (2) テストA, Bの共分散が与えられたときに、相関係数を求める。 (3) 求めた相関係数から、テストA, Bの結果の間にどのような相関関係があるかを判定する。

1. 問題の内容

5人の生徒に対して行われた2種類のテストA, Bの結果が表にまとめられている。

(1) テストA, Bの標準偏差をそれぞれ求める。

(2) テストA, Bの共分散が与えられたときに、相関係数を求める。

(3) 求めた相関係数から、テストA, Bの結果の間にどのような相関関係があるかを判定する。

2. 解き方の手順

(1) 標準偏差の計算

まず、テストAとテストBそれぞれの平均を計算する。

テストAの平均：$\frac{2 + 8 + 5 + 1 + 4}{5} = \frac{20}{5} = 4$

テストBの平均：$\frac{5 + 10 + 3 + 4 + 8}{5} = \frac{30}{5} = 6$

次に、それぞれのテストの分散を計算する。

テストAの分散：$\frac{(2-4)^2 + (8-4)^2 + (5-4)^2 + (1-4)^2 + (4-4)^2}{5} = \frac{4 + 16 + 1 + 9 + 0}{5} = \frac{30}{5} = 6$

テストBの分散：$\frac{(5-6)^2 + (10-6)^2 + (3-6)^2 + (4-6)^2 + (8-6)^2}{5} = \frac{1 + 16 + 9 + 4 + 4}{5} = \frac{34}{5} = 6.8$

標準偏差は分散の平方根なので、

テストAの標準偏差：$\sqrt{6} \approx 2.449 \approx 2.4$ （小数第1位まで四捨五入）

テストBの標準偏差：$\sqrt{6.8} \approx 2.607 \approx 2.6$ （小数第1位まで四捨五入）

(2) 相関係数の計算

相関係数$r$は、共分散をそれぞれの標準偏差の積で割ったものとして定義される。

$r = \frac{\text{共分散}}{\text{テストAの標準偏差} \times \text{テストBの標準偏差}}$

共分散は5.6と与えられているので、

$r = \frac{5.6}{2.4 \times 2.6} = \frac{5.6}{6.24} \approx 0.897 \approx 0.9$ (小数第1位まで四捨五入)

(3) 相関関係の判定

相関係数が0.9なので、これは強い正の相関があると言える。

3. 最終的な答え

(1) テストAの標準偏差 = 2.4

テストBの標準偏差 = 2.6

(2) 相関係数 = 0.9

(3) 強い正