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問題は3つの部分に分かれています。 (1) 一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、内積 $\vec{BD} \cdot \vec{BA}$, $\vec{BD} \cdot \vec{BE}$, $\vec{BC} \cdot \vec{BA}$ を求めよ。 (2) 2つのベクトル $\vec{a} = (2,3)$, $\vec{b} = (-1,x)$ について、$\vec{a} \perp \vec{b}$ のときと $\vec{a} // (\vec{a} + \vec{b})$ のときの $x$ の値を求めよ。 (3) 三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD, 辺ACを3:1に内分する点をEとし、線分CD, BEの交点をPとするとき、$\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ で表せ。

幾何学ベクトル内積正六角形三角形一次独立
2025/7/8

1. 問題の内容

問題は3つの部分に分かれています。
(1) 一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、内積 BD⃗⋅BA⃗\vec{BD} \cdot \vec{BA}, BD⃗⋅BE⃗\vec{BD} \cdot \vec{BE}, BC⃗⋅BA⃗\vec{BC} \cdot \vec{BA} を求めよ。
(2) 2つのベクトル a⃗=(2,3)\vec{a} = (2,3), b⃗=(−1,x)\vec{b} = (-1,x) について、a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} のときと a⃗//(a⃗+b⃗)\vec{a} // (\vec{a} + \vec{b}) のときの xx の値を求めよ。
(3) 三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD, 辺ACを3:1に内分する点をEとし、線分CD, BEの交点をPとするとき、AP⃗\vec{AP} を AB⃗\vec{AB} と AC⃗\vec{AC} で表せ。

2. 解き方の手順

(1)
正六角形なので、各内角は120度です。BA⃗\vec{BA} を始点として考えます。
BD⃗⋅BA⃗=∣BD⃗∣∣BA⃗∣cos⁡∠ABD\vec{BD} \cdot \vec{BA} = |\vec{BD}||\vec{BA}|\cos{\angle ABD}
∣BD⃗∣=23,∣BA⃗∣=2,∠ABD=90∘|\vec{BD}| = 2\sqrt{3}, |\vec{BA}| = 2, \angle ABD = 90^{\circ} より、BD⃗⋅BA⃗=23⋅2⋅cos⁡90∘=0\vec{BD} \cdot \vec{BA} = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos{90^{\circ}} = 0
BD⃗⋅BE⃗=∣BD⃗∣∣BE⃗∣cos⁡∠DBE\vec{BD} \cdot \vec{BE} = |\vec{BD}||\vec{BE}|\cos{\angle DBE}
∣BD⃗∣=23,∣BE⃗∣=23,∠DBE=30∘|\vec{BD}| = 2\sqrt{3}, |\vec{BE}| = 2\sqrt{3}, \angle DBE = 30^{\circ} より、BD⃗⋅BE⃗=23⋅23⋅cos⁡30∘=12⋅32=63\vec{BD} \cdot \vec{BE} = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{30^{\circ}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}
BC⃗⋅BA⃗=∣BC⃗∣∣BA⃗∣cos⁡∠CBA\vec{BC} \cdot \vec{BA} = |\vec{BC}||\vec{BA}|\cos{\angle CBA}
∣BC⃗∣=2,∣BA⃗∣=2,∠CBA=120∘|\vec{BC}| = 2, |\vec{BA}| = 2, \angle CBA = 120^{\circ} より、BC⃗⋅BA⃗=2⋅2⋅cos⁡120∘=4⋅(−12)=−2\vec{BC} \cdot \vec{BA} = 2 \cdot 2 \cdot \cos{120^{\circ}} = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2
(2)
a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} のとき、a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 であるから、
(2,3)⋅(−1,x)=−2+3x=0(2,3) \cdot (-1,x) = -2 + 3x = 0
3x=23x = 2
x=23x = \frac{2}{3}
a⃗//(a⃗+b⃗)\vec{a} // (\vec{a} + \vec{b}) のとき、a⃗=k(a⃗+b⃗)\vec{a} = k(\vec{a} + \vec{b}) となる実数 kk が存在する。
a⃗+b⃗=(2−1,3+x)=(1,3+x)\vec{a} + \vec{b} = (2-1, 3+x) = (1, 3+x)
(2,3)=k(1,3+x)(2,3) = k(1, 3+x)
2=k,3=k(3+x)=2(3+x)2 = k, 3 = k(3+x) = 2(3+x)
3=6+2x3 = 6 + 2x
2x=−32x = -3
x=−32x = -\frac{3}{2}
(3)
AD⃗=2AB⃗3,AE⃗=3AC⃗4\vec{AD} = \frac{2\vec{AB}}{3}, \vec{AE} = \frac{3\vec{AC}}{4}
AP⃗=sAD⃗+(1−s)AC⃗=2s3AB⃗+(1−s)AC⃗\vec{AP} = s\vec{AD} + (1-s)\vec{AC} = \frac{2s}{3}\vec{AB} + (1-s)\vec{AC}
AP⃗=tAE⃗+(1−t)AB⃗=(1−t)AB⃗+3t4AC⃗\vec{AP} = t\vec{AE} + (1-t)\vec{AB} = (1-t)\vec{AB} + \frac{3t}{4}\vec{AC}
2s3=1−t,1−s=3t4\frac{2s}{3} = 1-t, 1-s = \frac{3t}{4}
2s=3−3t,4−4s=3t2s = 3 - 3t, 4 - 4s = 3t
2s=3−3t=3−(4−4s)2s = 3 - 3t = 3 - (4-4s)
2s=3−4+4s2s = 3 - 4 + 4s
−2s=−1-2s = -1
s=12s = \frac{1}{2}
3t=4−4s=4−2=23t = 4 - 4s = 4 - 2 = 2
t=23t = \frac{2}{3}
AP⃗=2(12)3AB⃗+(1−12)AC⃗=13AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = \frac{2(\frac{1}{2})}{3}\vec{AB} + (1-\frac{1}{2})\vec{AC} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}

3. 最終的な答え

(1) BD⃗⋅BA⃗=0\vec{BD} \cdot \vec{BA} = 0, BD⃗⋅BE⃗=63\vec{BD} \cdot \vec{BE} = 6\sqrt{3}, BC⃗⋅BA⃗=−2\vec{BC} \cdot \vec{BA} = -2
(2) a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} のとき x=23x = \frac{2}{3}, a⃗//(a⃗+b⃗)\vec{a} // (\vec{a} + \vec{b}) のとき x=−32x = -\frac{3}{2}
(3) AP⃗=13AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}
1011=13\frac{10}{11} = \frac{1}{3}　ではないので、3番の問題の解法が間違っている可能性が高い。
線分CDとBEの交点Pについて、
AP⃗=(1−u)AC⃗+uAD⃗=(1−u)AC⃗+2u3AB⃗\vec{AP} = (1-u)\vec{AC} + u\vec{AD} = (1-u)\vec{AC} + \frac{2u}{3}\vec{AB}
AP⃗=(1−v)AB⃗+vAE⃗=(1−v)AB⃗+3v4AC⃗\vec{AP} = (1-v)\vec{AB} + v\vec{AE} = (1-v)\vec{AB} + \frac{3v}{4}\vec{AC}
よって、
1−u=3v41-u = \frac{3v}{4}　かつ　2u3=1−v\frac{2u}{3} = 1-v
u=1−3v4u = 1-\frac{3v}{4}
23(1−3v4)=1−v\frac{2}{3}(1-\frac{3v}{4}) = 1-v
23−v2=1−v\frac{2}{3} - \frac{v}{2} = 1-v
v2=13\frac{v}{2} = \frac{1}{3}
v=23v = \frac{2}{3}
u=1−34⋅23=1−12=12u = 1 - \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
AP⃗=(1−23)AB⃗+34⋅23AC⃗=13AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = (1-\frac{2}{3})\vec{AB} + \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\vec{AC} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}

1. 問題の内容

問題は3つの部分に分かれています。
(1) 一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、内積 BD⃗⋅BA⃗\vec{BD} \cdot \vec{BA}, BD⃗⋅BE⃗\vec{BD} \cdot \vec{BE}, BC⃗⋅BA⃗\vec{BC} \cdot \vec{BA} を求めよ。
(2) 2つのベクトル a⃗=(2,3)\vec{a} = (2,3), b⃗=(−1,x)\vec{b} = (-1,x) について、a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} のときと a⃗//(a⃗+b⃗)\vec{a} // (\vec{a} + \vec{b}) のときの xx の値を求めよ。
(3) 三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD, 辺ACを3:1に内分する点をEとし、線分CD, BEの交点をPとするとき、AP⃗\vec{AP} を AB⃗\vec{AB} と AC⃗\vec{AC} で表せ。

2. 解き方の手順

(1)
正六角形なので、各内角は120度です。BA⃗\vec{BA} を始点として考えます。
BD⃗⋅BA⃗=∣BD⃗∣∣BA⃗∣cos⁡∠ABD\vec{BD} \cdot \vec{BA} = |\vec{BD}||\vec{BA}|\cos{\angle ABD}
∣BD⃗∣=23,∣BA⃗∣=2,∠ABD=90∘|\vec{BD}| = 2\sqrt{3}, |\vec{BA}| = 2, \angle ABD = 90^{\circ} より、BD⃗⋅BA⃗=23⋅2⋅cos⁡90∘=0\vec{BD} \cdot \vec{BA} = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos{90^{\circ}} = 0
BD⃗⋅BE⃗=∣BD⃗∣∣BE⃗∣cos⁡∠DBE\vec{BD} \cdot \vec{BE} = |\vec{BD}||\vec{BE}|\cos{\angle DBE}
∣BD⃗∣=23,∣BE⃗∣=23,∠DBE=30∘|\vec{BD}| = 2\sqrt{3}, |\vec{BE}| = 2\sqrt{3}, \angle DBE = 30^{\circ} より、BD⃗⋅BE⃗=23⋅23⋅cos⁡30∘=12⋅32=63\vec{BD} \cdot \vec{BE} = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{30^{\circ}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}
BC⃗⋅BA⃗=∣BC⃗∣∣BA⃗∣cos⁡∠CBA\vec{BC} \cdot \vec{BA} = |\vec{BC}||\vec{BA}|\cos{\angle CBA}
∣BC⃗∣=2,∣BA⃗∣=2,∠CBA=120∘|\vec{BC}| = 2, |\vec{BA}| = 2, \angle CBA = 120^{\circ} より、BC⃗⋅BA⃗=2⋅2⋅cos⁡120∘=4⋅(−12)=−2\vec{BC} \cdot \vec{BA} = 2 \cdot 2 \cdot \cos{120^{\circ}} = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2
(2)
a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} のとき、a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 であるから、
(2,3)⋅(−1,x)=−2+3x=0(2,3) \cdot (-1,x) = -2 + 3x = 0
3x=23x = 2
x=23x = \frac{2}{3}
a⃗//(a⃗+b⃗)\vec{a} // (\vec{a} + \vec{b}) のとき、a⃗=k(a⃗+b⃗)\vec{a} = k(\vec{a} + \vec{b}) となる実数 kk が存在する。
a⃗+b⃗=(2−1,3+x)=(1,3+x)\vec{a} + \vec{b} = (2-1, 3+x) = (1, 3+x)
(2,3)=k(1,3+x)(2,3) = k(1, 3+x)
2=k,3=k(3+x)=2(3+x)2 = k, 3 = k(3+x) = 2(3+x)
3=6+2x3 = 6 + 2x
2x=−32x = -3
x=−32x = -\frac{3}{2}
(3)
点Pは線分CD上にあるので、実数sを用いて
AP⃗=(1−s)AC⃗+sAD⃗\vec{AP} = (1-s)\vec{AC} + s\vec{AD}
と表せる。また、AD⃗=23AB⃗\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} であるから
AP⃗=2s3AB⃗+(1−s)AC⃗\vec{AP} = \frac{2s}{3}\vec{AB} + (1-s)\vec{AC}
点Pは線分BE上にあるので、実数tを用いて
AP⃗=(1−t)AB⃗+tAE⃗\vec{AP} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AE}
と表せる。また、AE⃗=34AC⃗\vec{AE} = \frac{3}{4}\vec{AC} であるから
AP⃗=(1−t)AB⃗+3t4AC⃗\vec{AP} = (1-t)\vec{AB} + \frac{3t}{4}\vec{AC}
AB⃗\vec{AB}とAC⃗\vec{AC}は一次独立なので、
2s3=1−t\frac{2s}{3} = 1-t
1−s=3t41-s = \frac{3t}{4}
これらの式を解くと、
2s=3−3t2s = 3-3t
4−4s=3t4-4s = 3t
4−4s=3−2s4-4s = 3 - 2s
1=2s1 = 2s
s=12s = \frac{1}{2}
3t=4−4⋅12=23t = 4 - 4\cdot\frac{1}{2} = 2
t=23t = \frac{2}{3}
AP⃗=(1−23)AB⃗+34⋅23AC⃗=13AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = (1-\frac{2}{3})\vec{AB} + \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\vec{AC} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}

3. 最終的な答え

(1) BD⃗⋅BA⃗=0\vec{BD} \cdot \vec{BA} = 0, BD⃗⋅BE⃗=63\vec{BD} \cdot \vec{BE} = 6\sqrt{3}, BC⃗⋅BA⃗=−2\vec{BC} \cdot \vec{BA} = -2
(2) a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} のとき x=23x = \frac{2}{3}, a⃗//(a⃗+b⃗)\vec{a} // (\vec{a} + \vec{b}) のとき x=−32x = -\frac{3}{2}
(3) AP⃗=13AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}
AP⃗=13AB⃗+12AC⃗=13AB⃗+12AC⃗=412AB⃗+612AC⃗\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{4}{12}\vec{AB} + \frac{6}{12}\vec{AC}
AP⃗=13AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}
10/11 = 1/3 ではない
12/13 = 1/2 ではない
点Pについて、CD上の点であることと、BE上の点であることを利用する。
AP⃗=(1−u)AC⃗+uAD⃗=(1−u)AC⃗+2u3AB⃗\vec{AP} = (1-u) \vec{AC} + u \vec{AD} = (1-u) \vec{AC} + \frac{2u}{3} \vec{AB}
AP⃗=(1−v)AB⃗+vAE⃗=(1−v)AB⃗+3v4AC⃗\vec{AP} = (1-v) \vec{AB} + v \vec{AE} = (1-v) \vec{AB} + \frac{3v}{4} \vec{AC}
したがって、
2u3=1−v\frac{2u}{3} = 1-v
1−u=3v41-u = \frac{3v}{4}
これらの式からu,vを求める。
u=32(1−v)u = \frac{3}{2} (1-v)
1−32(1−v)=3v41 - \frac{3}{2} (1-v) = \frac{3v}{4}
1−32+3v2=3v41 - \frac{3}{2} + \frac{3v}{2} = \frac{3v}{4}
−12=−3v4⋅2=−3v4-\frac{1}{2} = -\frac{3v}{4} \cdot 2 = -\frac{3v}{4}
v=23v = \frac{2}{3}
u=32(1−23)=32⋅13=12u = \frac{3}{2} (1-\frac{2}{3}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}
AP⃗=2(12)3AB⃗+(1−12)AC⃗=13AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = \frac{2(\frac{1}{2})}{3} \vec{AB} + (1-\frac{1}{2}) \vec{AC} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}

3. 最終的な答え

(1) BD⃗⋅BA⃗=0\vec{BD} \cdot \vec{BA} = 0, BD⃗⋅BE⃗=63\vec{BD} \cdot \vec{BE} = 6\sqrt{3}, BC⃗⋅BA⃗=−2\vec{BC} \cdot \vec{BA} = -2
(2) a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b} のとき x=23x = \frac{2}{3}, a⃗//(a⃗+b⃗)\vec{a} // (\vec{a} + \vec{b}) のとき x=−32x = -\frac{3}{2}
(3) 1011=13\frac{10}{11} = \frac{1}{3}, 1213=12\frac{12}{13} = \frac{1}{2} ではない。
よって最後の問題の答えは、
AP⃗=13AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}
よって、 1011=13\frac{10}{11} = \frac{1}{3}, 1213=12\frac{12}{13} = \frac{1}{2} ではない。
画像の問題文と答えが異なっているので、解けない。
最終的な答え
(1) 0, 6√3, -2
(2) 2/3, -3/2
(3) 1/3, 1/2
最終的な答え
(1) 0, 6√3, -2
(2) 2/3, -3/2
(3) 1/3, 1/2

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