一辺の長さが1である正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をD、辺OCの中点をEとする。ベクトル$\overrightarrow{DE}$と$\overrightarrow{AC}$の内積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1である正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をD、辺OCの中点をEとする。ベクトル$\overrightarrow{DE}$と$\overrightarrow{AC}$の内積を求めよ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とおく。

DはABの中点なので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{2}$

EはOCの中点なので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{\overrightarrow{OC}}{2} = \frac{\overrightarrow{c}}{2}$

よって、

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{c}}{2} - \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$

したがって、

$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$

$= \frac{1}{2} (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a})$

正四面体の辺の長さは1なので、 $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1$

また、$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \times 1 \times \cos{60^{\circ}} = \frac{1}{2}$

$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

$= \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$