四角形ABCDにおいて、$\angle B = \angle D = 90^\circ$であり、点Eは辺AB上の点である。$AE = 3 \text{ cm}$, $AD = 4 \text{ cm}$, $BC = 6 \text{ cm}$, $CD = 8 \text{ cm}$のとき、四角形AECDの面積を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$\angle B = \angle D = 90^\circ$であり、点Eは辺AB上の点である。$AE = 3 \text{ cm}$, $AD = 4 \text{ cm}$, $BC = 6 \text{ cm}$, $CD = 8 \text{ cm}$のとき、四角形AECDの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、四角形ABCDの面積を求める。これは、長方形EBCDの面積と三角形ABEの面積から求められる。

四角形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ACDの面積の和で求められる。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times BC \times AB$で求められる。

三角形ACDの面積は、$\frac{1}{2} \times AD \times CD$で求められる。

$AB = AE + EB$ なので、EBを求める必要がある。

三角形ABEは直角三角形なので、四角形AECDの面積を求めるには、三角形ABCの面積から三角形EBCの面積を引けば良い。

しかし、$AB$の長さが不明なので、まず$AB$の長さを求める。

四角形ABCDは台形ではないので、単純に台形の面積の公式は使えない。

そこで、四角形ABCDを三角形ABCと三角形ACDに分割して考える。

三角形ABCの面積は$\frac{1}{2} \times AB \times BC$、三角形ACDの面積は$\frac{1}{2} \times AD \times CD$である。

$AB$の長さを$x$とすると、四角形ABCDの面積は$\frac{1}{2} \times x \times 6 + \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 3x + 16$である。

次に、三角形EBCの面積を求める。これは$\frac{1}{2} \times EB \times BC$である。$EB = AB - AE = x - 3$なので、三角形EBCの面積は$\frac{1}{2} \times (x - 3) \times 6 = 3(x - 3) = 3x - 9$である。

四角形AECDの面積は、四角形ABCDの面積から三角形EBCの面積を引いたものなので、$(3x + 16) - (3x - 9) = 3x + 16 - 3x + 9 = 25$である。

四角形AECDは、三角形AEDと三角形ECDに分割できる。

三角形AEDの面積は$\frac{1}{2} \times AE \times AD = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$である。

三角形ECDの面積は、点EからCDに垂線を下ろし、その長さを$h$とすると、$\frac{1}{2} \times CD \times h = 4h$である。

四角形AECDの面積は、三角形AEDの面積と三角形ECDの面積の合計なので、$6 + 4h$である。

ここで、$h$は不明なので、別の方法を考える。

四角形ABCDの面積は、$\triangle AED + \triangle ECD + \triangle EBC$である。

$\triangle AED = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16$

四角形AECDの面積 = 四角形ABCDの面積 - $\triangle EBC$

$= \triangle ABC + \triangle ACD - \triangle EBC$

ここで、$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times 6 = 3AB$

$\triangle EBC = \frac{1}{2} \times EB \times 6 = 3EB = 3(AB - 3) = 3AB - 9$

したがって、四角形AECDの面積 $= 3AB + 16 - (3AB - 9) = 25$

3. 最終的な答え

25 cm²