$x^2 + y^2 = 1$ という制約条件のもとで、$f(x, y) = x - y$ の極値を、ペナルティ法を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 1$ という制約条件のもとで、$f(x, y) = x - y$ の極値を、ペナルティ法を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

ペナルティ法では、制約条件を満たさない場合にペナルティを与える関数を導入し、制約なしの最適化問題に帰着させます。ここでは、$g(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ として、ペナルティ関数 $P(x, y) = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 - 1)^2$ を導入します。

ペナルティパラメータを $\mu > 0$ として、拡張された目的関数は次のようになります。

$Q(x, y; \mu) = f(x, y) + \frac{\mu}{2} g(x, y)^2 = x - y + \frac{\mu}{2} (x^2 + y^2 - 1)^2$

この $Q(x, y; \mu)$ の極値を求めるために、偏微分を計算し、それらをゼロと置きます。

$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1 + \mu (x^2 + y^2 - 1) (2x) = 0$

$\frac{\partial Q}{\partial y} = -1 + \mu (x^2 + y^2 - 1) (2y) = 0$

上の2式より

$1 + 2\mu x (x^2 + y^2 - 1) = 0$

$-1 + 2\mu y (x^2 + y^2 - 1) = 0$

この2式を足すと

$2\mu(x+y)(x^2+y^2-1) = 0$

$\mu \neq 0$ より

$x+y=0$ または $x^2 + y^2 = 1$

もし $x^2+y^2=1$ なら、上の2式は $1=0$ と $-1=0$ になり矛盾。よって $x+y=0$. つまり、$y = -x$。

これを $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、$x^2 + (-x)^2 = 1$となり、$2x^2 = 1$ より $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

したがって、$(x, y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ または $(x, y) = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$。

$f(x,y) = x - y$ について考えると

$(x, y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ のとき、$f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ (最大値)

$(x, y) = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ のとき、$f(x, y) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$ (最小値)

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ (座標 $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$)

最小値: $-\sqrt{2}$ (座標 $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$)