四角形ABCDにおいて、$AB=AC=AD$, $\angle CBD = 35^\circ$, $\angle CDB = 15^\circ$ のとき、$\angle BCD$ と $\angle ADB$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$AB=AC=AD$, $\angle CBD = 35^\circ$, $\angle CDB = 15^\circ$ のとき、$\angle BCD$ と $\angle ADB$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\angle BCD$を求める。

三角形BCDにおいて、内角の和は180度なので、

$\angle BCD = 180^\circ - \angle CBD - \angle CDB$

$\angle BCD = 180^\circ - 35^\circ - 15^\circ$

$\angle BCD = 130^\circ$

(2) $\angle ADB$を求める。

三角形ACDは$AC=AD$の二等辺三角形なので、$\angle ACD = \angle ADC$である。

$\angle CAD = 360^\circ - \angle DAB - \angle ABC - \angle BCD$

ここで、$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$であり、三角形ABDは$AB = AD$の二等辺三角形なので、$\angle ABD = \angle ADB$である。

よって、$\angle ABC = \angle ADB + 35^\circ$となる。

また、$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB$である。三角形ABCは$AB=AC$の二等辺三角形なので、$\angle ABC = \angle ACB$となり、$\angle CAB = 180^\circ - 2\angle ABC$である。

$\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB = \angle ADB + 15^\circ$

$\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD = \angle ABC + \angle BCD$

$\angle CAD = 180^\circ - 2\angle ACD = 180^\circ - 2 (\angle ACB + \angle BCD) = 180^\circ - 2 (\angle ABC + \angle BCD) = 180^\circ - 2(\angle ADB + 35^\circ + 130^\circ)$

$= 180^\circ - 2 (\angle ADB + 165^\circ) = -150^\circ - 2\angle ADB$

$\angle DAC = 180^\circ - 2\angle ADC = 180^\circ - 2 (\angle ADB + 15^\circ) = 150^\circ - 2\angle ADB$

$\angle CAB = 180^\circ - 2\angle ABC = 180^\circ - 2 (\angle ADB + 35^\circ) = 110^\circ - 2\angle ADB$

$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = (150^\circ - 2\angle ADB) + (110^\circ - 2\angle ADB) = 260^\circ - 4\angle ADB$

$\angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^\circ$

$2\angle ADC + \angle CAD = 180^\circ$

$2(\angle ADB + 15^\circ) + \angle CAD = 180^\circ$

$2\angle ADB + 30^\circ + \angle CAD = 180^\circ$

$\angle CAD = 150^\circ - 2\angle ADB$

$\angle ADB + \angle CDB + \angle ACD = 180^\circ$

$360^\circ = \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = (\angle ADB + 35^\circ) + 130^\circ + (\angle ADB + 15^\circ) + \angle CAB + \angle CAD$

$360^\circ = \angle ADB + 35^\circ + 130^\circ + \angle ADB + 15^\circ + (110^\circ - 2\angle ADB) + (150^\circ - 2\angle ADB)$

$360^\circ = -2\angle ADB + 440^\circ$

$2\angle ADB = 80^\circ$

$\angle ADB = 40^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle BCD = 130^\circ$

$\angle ADB = 40^\circ$