一辺の長さが1の正四面体OABCがある。辺OA, AB, BCを $p:(1-p)$ （$0 < p < 1$）に内分する点をそれぞれL, M, Nとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$ とする。 (1) ベクトル $\vec{ML}, \vec{MN}$ をそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ および $p$ を用いて表せ。また、内積 $\vec{ML} \cdot \vec{MN}$ を $p$ を用いて表せ。 (2) ベクトル $\vec{LN}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ および $p$ を用いて表せ。また、 $|\vec{LN}|$ を $p$ を用いて表せ。 (3) $|\vec{LN}|$ を最小にする $p$ の値を求めよ。また、そのときの三角形LMNの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCがある。辺OA, AB, BCを $p:(1-p)$ （$0 < p < 1$）に内分する点をそれぞれL, M, Nとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$ とする。

(1) ベクトル $\vec{ML}, \vec{MN}$ をそれぞれ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ および $p$ を用いて表せ。また、内積 $\vec{ML} \cdot \vec{MN}$ を $p$ を用いて表せ。

(2) ベクトル $\vec{LN}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ および $p$ を用いて表せ。また、 $|\vec{LN}|$ を $p$ を用いて表せ。

(3) $|\vec{LN}|$ を最小にする $p$ の値を求めよ。また、そのときの三角形LMNの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{ML} = \vec{OL} - \vec{OM} = p\vec{a} - (1-p)\vec{a} - p\vec{b} = (2p-1)\vec{a} - p\vec{b}$

$\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = (1-p)\vec{b} + p\vec{c} - (1-p)\vec{a} - p\vec{b} = (1-p)(-\vec{a}+\vec{b}) + p\vec{c} - p\vec{b} = (p-1)\vec{a} + (1-2p)\vec{b} + p\vec{c}$

正四面体なので、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$, $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{a} = \frac{1}{2}$

$\vec{ML}\cdot\vec{MN} = [(2p-1)\vec{a} - p\vec{b}] \cdot [(p-1)\vec{a} + (1-2p)\vec{b} + p\vec{c}]$

$= (2p-1)(p-1)|\vec{a}|^2 + (2p-1)(1-2p)\vec{a}\cdot\vec{b} + (2p-1)p\vec{a}\cdot\vec{c} - p(p-1)\vec{b}\cdot\vec{a} - p(1-2p)|\vec{b}|^2 - p^2\vec{b}\cdot\vec{c}$

$= (2p-1)(p-1) + \frac{1}{2}(2p-1)(1-2p) + \frac{1}{2}(2p-1)p - \frac{1}{2}p(p-1) - p(1-2p) - \frac{1}{2}p^2$

$= 2p^2 - 3p + 1 + \frac{1}{2}(-4p^2 + 4p - 1) + \frac{1}{2}(2p^2 - p) - \frac{1}{2}(p^2 - p) - p + 2p^2 - \frac{1}{2}p^2$

$= 2p^2 - 3p + 1 - 2p^2 + 2p - \frac{1}{2} + p^2 - \frac{1}{2}p - \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}p - p + 2p^2 - \frac{1}{2}p^2$

$= \frac{1}{2}p^2 - 2p + \frac{1}{2}$

(2) $\vec{LN} = \vec{ON} - \vec{OL} = (1-p)\vec{b} + p\vec{c} - p\vec{a} = -p\vec{a} + (1-p)\vec{b} + p\vec{c}$

$|\vec{LN}|^2 = (-p\vec{a} + (1-p)\vec{b} + p\vec{c}) \cdot (-p\vec{a} + (1-p)\vec{b} + p\vec{c})$

$= p^2|\vec{a}|^2 + (1-p)^2|\vec{b}|^2 + p^2|\vec{c}|^2 - 2p(1-p)\vec{a}\cdot\vec{b} - 2p^2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2p(1-p)\vec{b}\cdot\vec{c}$

$= p^2 + (1-p)^2 + p^2 - p(1-p) - p^2 + p(1-p)$

$= p^2 + 1 - 2p + p^2 + p^2 - p + p^2 - p^2 - p + p^2 = 3p^2 - 4p + 1$

$|\vec{LN}| = \sqrt{3p^2 - 4p + 1}$

(3) $|\vec{LN}|^2 = 3p^2 - 4p + 1 = 3(p^2 - \frac{4}{3}p) + 1 = 3(p - \frac{2}{3})^2 - 3\cdot\frac{4}{9} + 1 = 3(p - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + 1 = 3(p - \frac{2}{3})^2 - \frac{1}{3}$

$|\vec{LN}|^2$ を最小にする $p$ は $p = \frac{2}{3}$ であり、このとき $|\vec{LN}| = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\vec{ML} = (2p-1)\vec{a} - p\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{MN} = (p-1)\vec{a} + (1-2p)\vec{b} + p\vec{c} = -\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

$\vec{LM} = -\vec{ML} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{LN} = -p\vec{a} + (1-p)\vec{b} + p\vec{c} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

$\vec{LM} \times \vec{LN} = \frac{1}{9} (-\vec{a}+2\vec{b}) \times (-2\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})$

$=\frac{1}{9}(2 \vec{a}\times \vec{a} - \vec{a}\times \vec{b}-2 \vec{a}\times \vec{c} -4 \vec{b}\times \vec{a}+2 \vec{b}\times \vec{b}+4 \vec{b}\times \vec{c})$

$=\frac{1}{9}(0 - \vec{a}\times \vec{b} - 2\vec{a}\times \vec{c}+4 \vec{a}\times \vec{b}+0+4\vec{b}\times \vec{c}) = \frac{1}{9}(3 \vec{a}\times \vec{b}-2 \vec{a}\times \vec{c}+4\vec{b}\times \vec{c})$

$|\vec{a}\times \vec{b}|= |\vec{b}\times \vec{c}|=|\vec{c}\times \vec{a}| = \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (1/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\vec{a}\times \vec{b} \perp \vec{a}\times \vec{c} \perp \vec{b}\times \vec{c}$, so $|\vec{LM} \times \vec{LN}| = \frac{1}{9}\sqrt{9 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 4 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 16(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}= \frac{\sqrt{3}}{18}\sqrt{9+4+16}=\frac{\sqrt{3}}{18}\sqrt{29}$

$S_{LMN} = \frac{1}{2} |\vec{LM} \times \vec{LN}| = \frac{\sqrt{87}}{36}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{ML} = (2p-1)\vec{a} - p\vec{b}$, $\vec{MN} = (p-1)\vec{a} + (1-2p)\vec{b} + p\vec{c}$, $\vec{ML}\cdot\vec{MN} = \frac{1}{2}p^2 - 2p + \frac{1}{2}$

(2) $\vec{LN} = -p\vec{a} + (1-p)\vec{b} + p\vec{c}$, $|\vec{LN}| = \sqrt{3p^2 - 4p + 1}$

(3) $p = \frac{2}{3}$, $S_{LMN} = \frac{\sqrt{87}}{36}$