右の図において、$\triangle ABC$と$\triangle ADE$はそれぞれ$\angle BAC=90^\circ$, $\angle DAE=90^\circ$の直角二等辺三角形であり、点Dは辺BC上の点である。 (1) $\triangle ABD$と合同な三角形を見つけ、頂点を対応させて答える。 (2) $\triangle ABD$と(1)の三角形において、合同であることを証明する。 (3) $AB=6cm$であるとき、四角形ADCEの面積を求める。

1. 問題の内容

右の図において、$\triangle ABC$と$\triangle ADE$はそれぞれ$\angle BAC=90^\circ$, $\angle DAE=90^\circ$の直角二等辺三角形であり、点Dは辺BC上の点である。

(1) $\triangle ABD$と合同な三角形を見つけ、頂点を対応させて答える。

(2) $\triangle ABD$と(1)の三角形において、合同であることを証明する。

(3) $AB=6cm$であるとき、四角形ADCEの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$と合同な三角形を考える。$\triangle ACE$が合同であると予想される。

(2) $\triangle ABD$と$\triangle ACE$の合同を証明する。

まず、$\triangle ABC$と$\triangle ADE$は直角二等辺三角形なので、$AB=AC$、$AD=AE$である。

また、$\angle BAC = \angle DAE = 90^\circ$である。

$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC$

$\angle CAE = \angle DAE - \angle DAC$

よって、$\angle BAD = \angle CAE$である。

したがって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$である。

(3) 四角形ADCEの面積を求める。

$AB=6cm$より、$AC=6cm$である。$\triangle ABC$は直角二等辺三角形なので、$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} cm$である。

$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$より、四角形ADCEの面積は$\triangle ABC$の面積から$\triangle ABD$の面積を引いたものと等しい。

四角形ADCEの面積 = $\triangle ABC$の面積 - $\triangle ABD$の面積 + $\triangle ACE$の面積 = $\triangle ABC$の面積。

$\triangle ABC$の面積 = $\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 cm^2$である。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACE$

(2) $AB=AC$, $AD=AE$, $\angle BAD = \angle CAE$より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$

(3) $18 cm^2$