与えられた関数 $y = \frac{x^3(x+2)^3}{(x-3)^4}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x^3(x+2)^3}{(x-3)^4}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln{y} = \ln{\frac{x^3(x+2)^3}{(x-3)^4}}$

対数の性質を使って、式を整理します。

$\ln{y} = \ln{x^3} + \ln{(x+2)^3} - \ln{(x-3)^4}$

$\ln{y} = 3\ln{x} + 3\ln{(x+2)} - 4\ln{(x-3)}$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x} + \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x-3}$

$\frac{dy}{dx} = y(\frac{3}{x} + \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x-3})$

$y$ に元の関数を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(x+2)^3}{(x-3)^4}(\frac{3}{x} + \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x-3})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(x+2)^3}{(x-3)^4}(\frac{3(x+2)(x-3) + 3x(x-3) - 4x(x+2)}{x(x+2)(x-3)})$

括弧の中を通分し、分子を計算します。

$3(x^2-x-6) + 3(x^2-3x) - 4(x^2+2x)$

$=3x^2-3x-18 + 3x^2-9x - 4x^2-8x$

$=2x^2 - 20x - 18$

$=2(x^2 - 10x - 9)$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3(x+2)^3}{(x-3)^4}\frac{2(x^2 - 10x - 9)}{x(x+2)(x-3)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2(x+2)^2(x^2-10x-9)}{(x-3)^5}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2(x+2)^2(x^2-10x-9)}{(x-3)^5}$