$\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$、$\cos x - \cos y = \frac{1}{2}$のとき、$\cos(x+y)$の値を求める。

1. 問題の内容

$\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$、$\cos x - \cos y = \frac{1}{2}$のとき、$\cos(x+y)$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x + \sin y$と$\cos x - \cos y$をそれぞれ和積の公式を用いて変形します。

和積の公式は以下の通りです。

$\sin x + \sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$

$\cos x - \cos y = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})$

したがって、

$2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) = \frac{1}{3}$

$-2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) = \frac{1}{2}$

これらの式から$\sin(\frac{x+y}{2})$が共通していることに注目し、両辺を割ることを考えます。

$\frac{2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})}{-2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}$

$\frac{-\cos(\frac{x-y}{2})}{\sin(\frac{x-y}{2})} = \frac{2}{3}$

$-\cot(\frac{x-y}{2}) = \frac{2}{3}$

$\cot(\frac{x-y}{2}) = -\frac{2}{3}$

次に、$\sin(\frac{x+y}{2})$と$\cos(\frac{x-y}{2})$、$\sin(\frac{x+y}{2})$と$\sin(\frac{x-y}{2})$についてそれぞれ二乗し、足し合わせることを考えます。

$(2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}))^2 = (\frac{1}{3})^2$

$4\sin^2(\frac{x+y}{2})\cos^2(\frac{x-y}{2}) = \frac{1}{9}$

$(-2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}))^2 = (\frac{1}{2})^2$

$4\sin^2(\frac{x+y}{2})\sin^2(\frac{x-y}{2}) = \frac{1}{4}$

これらの式を足し合わせると、

$4\sin^2(\frac{x+y}{2})\cos^2(\frac{x-y}{2}) + 4\sin^2(\frac{x+y}{2})\sin^2(\frac{x-y}{2}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{4}$

$4\sin^2(\frac{x+y}{2})[\cos^2(\frac{x-y}{2}) + \sin^2(\frac{x-y}{2})] = \frac{4+9}{36}$

$4\sin^2(\frac{x+y}{2}) = \frac{13}{36}$

$\sin^2(\frac{x+y}{2}) = \frac{13}{144}$

$\cos(x+y)$を半角の公式で変形します。

$\cos(x+y) = 1 - 2\sin^2(\frac{x+y}{2})$

$\cos(x+y) = 1 - 2(\frac{13}{144})$

$\cos(x+y) = 1 - \frac{13}{72} = \frac{72-13}{72}$

$\cos(x+y) = \frac{59}{72}$

3. 最終的な答え

$\cos(x+y) = \frac{59}{72}$