集合 $A = \{x \mid -1 < x \le 2\}$、集合 $B = \{x \mid 1 < x \le 4\}$ について、以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $A \setminus B$ (3) $A \cap \overline{B}$ 選択肢の中から適切なものを選びます。

1. 問題の内容

集合 $A = \{x \mid -1 < x \le 2\}$、集合 $B = \{x \mid 1 < x \le 4\}$ について、以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $A \setminus B$

(3) $A \cap \overline{B}$

選択肢の中から適切なものを選びます。

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A$ の範囲は $-1 < x \le 2$ であり、$B$ の範囲は $1 < x \le 4$ です。

両方を満たす範囲は $1 < x \le 2$ となります。

選択肢の中からこの範囲に含まれる数を選びます。

選択肢は2, 3です。したがって、$A \cap B = \{x \mid 1 < x \le 2\}$は$\{x \mid 2 \le x \le 3\}$と書けます。選択肢から適切な数を選ぶと、1には2、3には3が入ります。4には4が入ります。

(2) $A \setminus B$ は、$A$ に含まれるが、$B$ には含まれない要素の集合です。

$A$ の範囲は $-1 < x \le 2$ であり、$B$ の範囲は $1 < x \le 4$ です。

$A$ に含まれていて、$B$ に含まれていない範囲は $-1 < x \le 1$ です。

選択肢の中からこの範囲に含まれる数を選びます。

$A \setminus B = \{x \mid -1 < x \le 1\}$ なので、$5$と$6$には該当する選択肢がありません。$A \setminus B$ に属する数は存在しないため、$5$と$6$に入る数はありません。7には5が入ります。8には1が入ります。

(3) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ に含まれ、かつ $B$ の補集合に含まれる要素の集合です。

$\overline{B}$ は、$B$ に含まれない要素の集合で、 $x \le 1$ または $x > 4$ です。

$A$ の範囲は $-1 < x \le 2$ なので、$A \cap \overline{B}$ は $-1 < x \le 1$ となります。

選択肢の中からこの範囲に含まれる数を選びます。

$A \cap \overline{B} = \{x \mid -1 < x \le 1\}$ なので、$9$と$10$には該当する選択肢がありません。$A \cap \overline{B}$ に属する数は存在しないため、$9$と$10$に入る数はありません。11には5が入ります。12には7が入ります。13には8が入ります。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x \mid 1 < x \le 2\}$ の1には2、2には1、3には2、4には4

(2) $A \setminus B = \{x \mid -1 < x \le 1\}$ の5と6には該当する選択肢がありません。7には5、8には1。

(3) $A \cap \overline{B} = \{x \mid -1 < x \le 1\}$ の9と10には該当する選択肢がありません。11には7、12には8、13には9。