直線 $y=3x$ と $x$ 軸、直線 $x=21$ で囲まれた図形 $T$ の内部にある格子点の個数を求める問題です。直線 $x=n$ 上の格子点で $T$ の内部にあるものの個数を $a_n$ とおき、$a_2$, $a_3$ の値を求め、$a_n$ がどのような数列か判断し、$T$ の内部にある格子点の総数を計算します。

1. 問題の内容

直線 $y=3x$ と $x$ 軸、直線 $x=21$ で囲まれた図形 $T$ の内部にある格子点の個数を求める問題です。直線 $x=n$ 上の格子点で $T$ の内部にあるものの個数を $a_n$ とおき、$a_2$, $a_3$ の値を求め、$a_n$ がどのような数列か判断し、$T$ の内部にある格子点の総数を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$a_2$ を求めます。直線 $x=2$ 上の格子点 $(2, y)$ が $T$ の内部にあるためには、$0 < y < 3 \times 2 = 6$ である必要があります。したがって、$y = 1, 2, 3, 4, 5$ であり、$a_2 = 5$ となります。

次に、$a_3$ を求めます。直線 $x=3$ 上の格子点 $(3, y)$ が $T$ の内部にあるためには、$0 < y < 3 \times 3 = 9$ である必要があります。したがって、$y = 1, 2, ..., 8$ であり、$a_3 = 8$ となります。

$a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 8$ より、数列 $\{a_n\}$ は公差 $3$ の等差数列であることがわかります。したがって、$\{a_n\}$ は「公差」が「3」の「等差」数列です。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 3n - 1$ です。

$T$ の内部にある格子点の総数は、$\sum_{n=1}^{20} a_n = \sum_{n=1}^{20} (3n - 1) = 3 \sum_{n=1}^{20} n - \sum_{n=1}^{20} 1 = 3 \times \frac{20(20+1)}{2} - 20 = 3 \times \frac{20 \times 21}{2} - 20 = 3 \times 10 \times 21 - 20 = 630 - 20 = 610$ となります。

3. 最終的な答え

ア：5

イ：8

ウ：公差

エ：3

オ：等差

カキク：610