数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たし、数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = 2$, $b_{n+1} = 2b_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たしている。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求める。 (3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たし、数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = 2$, $b_{n+1} = 2b_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たしている。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求める。

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ は初項 $a_1 = 2$, 公差 3 の等差数列であるから、

$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$

(2) 数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = 2$, 公比 2 の等比数列であるから、

$b_n = b_1 r^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n (3k-1) 2^k$ を計算する。

$S = \sum_{k=1}^n (3k-1) 2^k = 2\cdot 2^1 + 5\cdot 2^2 + 8 \cdot 2^3 + \dots + (3n-1)2^n$

$2S = 2\cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + 8 \cdot 2^4 + \dots + (3n-4)2^n + (3n-1)2^{n+1}$

$S - 2S = 2\cdot 2^1 + 3\cdot 2^2 + 3\cdot 2^3 + \dots + 3\cdot 2^n - (3n-1)2^{n+1}$

$-S = 4 + 3(2^2 + 2^3 + \dots + 2^n) - (3n-1)2^{n+1}$

$2^2 + 2^3 + \dots + 2^n = \sum_{k=2}^n 2^k = \frac{2^2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 4(2^{n-1} - 1) = 2^{n+1} - 4$

$-S = 4 + 3(2^{n+1} - 4) - (3n-1)2^{n+1}$

$-S = 4 + 3\cdot 2^{n+1} - 12 - (3n-1)2^{n+1}$

$-S = -8 + (3 - 3n + 1) 2^{n+1}$

$-S = -8 + (4 - 3n) 2^{n+1}$

$S = (3n-4) 2^{n+1} + 8$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n - 1$

(2) $b_n = 2^n$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = (3n-4) \cdot 2^{n+1} + 8$