$\sqrt{48n}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ を求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{48n}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ を求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{48n}$ が整数となるためには、$48n$ がある整数の2乗になる必要がある。まず、$48$ を素因数分解する。

$48 = 2^4 \times 3$

したがって、

$\sqrt{48n} = \sqrt{2^4 \times 3 \times n}$

$\sqrt{48n}$ が整数となるためには、$2^4 \times 3 \times n$ がある整数の2乗になる必要がある。$2^4$ は既に2乗の形になっているので、$3 \times n$ が2乗の形になればよい。

$n$ は自然数なので、$3 \times n$ が2乗の形になる最小の $n$ は、$n=3$ のときである。このとき、$3 \times n = 3 \times 3 = 3^2$ となり、確かに2乗の形になる。

よって、$n=3$ のとき、

$\sqrt{48n} = \sqrt{2^4 \times 3 \times 3} = \sqrt{2^4 \times 3^2} = \sqrt{(2^2 \times 3)^2} = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$

となり、整数となる。

3. 最終的な答え

$n = 3$