与えられた分数の平方根を、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ の形に変形し、さらに分母を有理化する問題です。 具体的には、以下の5つの問題があります。 (1) $\sqrt{\frac{2}{3}}$ (2) $\sqrt{\frac{3}{10}}$ (3) $\sqrt{\frac{5}{2}}$ (4) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ (5) $2\sqrt{\frac{5}{6}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の平方根を、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ の形に変形し、さらに分母を有理化する問題です。 具体的には、以下の5つの問題があります。

(1) $\sqrt{\frac{2}{3}}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{10}}$

(3) $\sqrt{\frac{5}{2}}$

(4) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$

(5) $2\sqrt{\frac{5}{6}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化する手順は以下の通りです。

ステップ1: 与えられた分数の平方根を $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ の形に変形します。

ステップ2: 分母の平方根を消すために、分子と分母に同じ平方根をかけます。

ステップ3: 分母を計算し、簡単化します。

ステップ4: 分子を計算し、必要であれば簡単化します。

(1) $\sqrt{\frac{2}{3}}$

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{10}}$

$\sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{10}}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}}$

$\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{10}}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$

(3) $\sqrt{\frac{5}{2}}$

$\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

(4) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$

$5\sqrt{\frac{3}{5}} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

$5 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 5 \times \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$

$5 \times \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = 5 \times \frac{\sqrt{15}}{5} = \sqrt{15}$

(5) $2\sqrt{\frac{5}{6}}$

$2\sqrt{\frac{5}{6}} = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$

$2 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = 2 \times \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}$

$2 \times \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = 2 \times \frac{\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $\frac{\sqrt{30}}{10}$

(3) $\frac{\sqrt{10}}{2}$

(4) $\sqrt{15}$

(5) $\frac{\sqrt{30}}{3}$