与えられた数列 $\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots \}$ について、以下の問いに答える。 (1) $\frac{7}{10}$ は第何項か。 (2) 第100項を求めよ。 (3) 初項から第100項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots \}$ について、以下の問いに答える。

(1) $\frac{7}{10}$ は第何項か。

(2) 第100項を求めよ。

(3) 初項から第100項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列の規則性から、分母が $n$ である項の数は $n-1$ 個である。

分母が2である項の数は1個、分母が3である項の数は2個、分母が4である項の数は3個である。

したがって、分母が9である項までの項の数は $1+2+3+4+5+6+7+8 = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36$ 個である。

$\frac{7}{10}$ は分母が10の項の7番目の項である。分母が10である項までの項の数は $1+2+3+4+5+6+7+8+9 = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$ 個である。

したがって、$\frac{7}{10}$ は $36 + 7 = 43$ 項目である。

(2) 第100項を求める。分母が $n$ である項までの項の数が100を超える最小の $n$ を求める。

$1+2+3+\dots+n = \frac{n(n-1)}{2}$ である。

$\frac{n(n-1)}{2} < 100 \le \frac{(n+1)n}{2}$ を満たす $n$ を求める。

$n(n-1) < 200 \le (n+1)n$

$n=14$ のとき、$\frac{14 \cdot 13}{2} = 91 < 100$

$n=15$ のとき、$\frac{15 \cdot 14}{2} = 105 > 100$

したがって、第100項は分母が15の項である。

$100 - 91 = 9$ なので、第100項は $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ である。

(3) 初項から第100項までの和を求める。

分母が $n$ である項の和は $\frac{1+2+\dots+(n-1)}{n} = \frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n} = \frac{n-1}{2}$ である。

分母が14までの項の和は $\sum_{n=2}^{14} \frac{n-1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{13} n = \frac{1}{2} \cdot \frac{13 \cdot 14}{2} = \frac{13 \cdot 7}{2} = \frac{91}{2}$ である。

第92項から第100項は分母が15の項である。これらの項は $\frac{1}{15}, \frac{2}{15}, \dots, \frac{9}{15}$ である。

$\sum_{i=1}^{9} \frac{i}{15} = \frac{1}{15} \sum_{i=1}^{9} i = \frac{1}{15} \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{9 \cdot 5}{15} = \frac{45}{15} = 3$

したがって、初項から第100項までの和は $\frac{91}{2} + 3 = \frac{91+6}{2} = \frac{97}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 43

(2) $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

(3) $\frac{97}{2}$