$a$ は定数とする。7つの値 7, 9, 12, 22, 34, $a-15$, $a+1$ からなるデータにおいて、中央値が16である。このとき、$a$ の値と、このデータの四分位範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。7つの値 7, 9, 12, 22, 34, $a-15$, $a+1$ からなるデータにおいて、中央値が16である。このとき、$a$ の値と、このデータの四分位範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた7つの値を小さい順に並べ替えることを考える。ただし、$a$ が含まれているため、場合分けが必要になる。中央値が16であることから、$a-15 \leq 16 \leq a+1$ のような関係があることが予想される。

与えられたデータを並べ替えるために、$a$ についていくつかの場合分けを検討する。

データの数は7個なので、中央値は4番目の値である。中央値が16であることから、並べ替えたデータは次のようになるはずである。

..., ..., ..., 16, ..., ..., ...

まず、$a-15$ と $a+1$ の大小関係を考えると、$a-15 < a+1$ である。

与えられた値を、$a$ を含めて小さい順に並べると、

7, 9, 12, $a-15$, $a+1$, 22, 34

となる場合と、そうでない場合がある。

中央値が16なので、並べ替えたデータの4番目の値が16になる必要がある。

場合1: $a-15 \le 12$ のとき、$a \le 27$。このとき、$a-15$, $a+1$ は12よりも小さいか等しいので、7, 9, 12, 22, 34の並びは変わらない。

この場合は中央値は12, 22, 34のいずれかになるので不適。

場合2: $a-15 > 12$ のとき、$a > 27$。このとき、7, 9, 12, 22, 34, $a-15$, $a+1$ を小さい順に並べ替える。

$a=31$と仮定すると、$a-15 = 16$, $a+1 = 32$となり、データは7, 9, 12, 16, 22, 32, 34となり、中央値は16となる。

中央値が16なので、$a-15$ と $a+1$ の間に16が存在する可能性がある。

$a-15 \le 16 \le a+1$

$a \le 31$ かつ $a \ge 15$

つまり、$15 \le a \le 31$

もし $a=31$ なら、データは 7, 9, 12, 22, 34, 16, 32。

並べ替えると 7, 9, 12, 16, 22, 32, 34 となり、中央値は16である。

したがって、$a=31$ である。

このとき、データは 7, 9, 12, 16, 22, 32, 34 となる。

第一四分位数は 9。第三四分位数は 32。

四分位範囲は 32 - 9 = 23。

3. 最終的な答え

$a = 31$

四分位範囲は 23