質量 $m_1$ の小球1と質量 $m_2$ の小球2が $x$ 軸上を運動する。初め、小球1は $x=0$ に、小球2は $x>0$ に静止している。壁が速度 $V$ で $x$ 軸上を正方向に運動し、小球1と衝突する。小球1と小球2は弾性衝突する。壁は常に速度 $V$ で運動する。以下の問いに答える。 問1: 壁と衝突した直後の小球1の速度を求めよ。 問2: 小球同士が衝突した直後の小球1の速度 $v_1$ と小球2の速度 $v_2$ を求めよ。 問3: しばらくして小球1が再び壁と衝突するための $\frac{m_1}{m_2}$ に対する条件を求めよ。 問4: 小球1と壁との2回の衝突で、壁が小球1にした仕事の和を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m_1$ の小球1と質量 $m_2$ の小球2が $x$ 軸上を運動する。初め、小球1は $x=0$ に、小球2は $x>0$ に静止している。壁が速度 $V$ で $x$ 軸上を正方向に運動し、小球1と衝突する。小球1と小球2は弾性衝突する。壁は常に速度 $V$ で運動する。以下の問いに答える。

問1: 壁と衝突した直後の小球1の速度を求めよ。

問2: 小球同士が衝突した直後の小球1の速度 $v_1$ と小球2の速度 $v_2$ を求めよ。

問3: しばらくして小球1が再び壁と衝突するための $\frac{m_1}{m_2}$ に対する条件を求めよ。

問4: 小球1と壁との2回の衝突で、壁が小球1にした仕事の和を求めよ。

2. 解き方の手順

問1:

壁は速度 $V$ で運動しており、小球1と壁との衝突は弾性衝突であるから、相対速度の関係より、衝突後の小球1の速度を $v_1'$ とすると、

$$-(v_1' - V) = V - 0$$

$$-v_1' + V = V$$

$$v_1' = 2V$$

問2:

小球1と小球2の衝突は弾性衝突なので、運動量保存則と反発係数の式が成り立つ。

運動量保存則より、

$$m_1 (2V) + m_2 (0) = m_1 v_1 + m_2 v_2$$

$$2 m_1 V = m_1 v_1 + m_2 v_2 \qquad (1)$$

反発係数の式より、

$$-\frac{v_1 - v_2}{2V - 0} = 1$$

$$v_2 - v_1 = 2V \qquad (2)$$

(2)式より、$v_2 = v_1 + 2V$ なので、(1)式に代入して

$$2 m_1 V = m_1 v_1 + m_2 (v_1 + 2V)$$

$$2 m_1 V = (m_1 + m_2) v_1 + 2 m_2 V$$

$$(m_1 + m_2) v_1 = 2 (m_1 - m_2) V$$

$$v_1 = \frac{2 (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} V$$

次に、

$$v_2 = v_1 + 2V = \frac{2 (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} V + 2V = \frac{2 (m_1 - m_2) + 2 (m_1 + m_2)}{m_1 + m_2} V$$

$$v_2 = \frac{4 m_1}{m_1 + m_2} V$$

問3:

小球1が再び壁と衝突するためには、小球1が小球2と衝突した後に、壁に追いつかなければならない。

すなわち、$v_1 < V$ でなければならない。

$$\frac{2 (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} V < V$$

$$\frac{2 (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} < 1$$

$$2 (m_1 - m_2) < m_1 + m_2$$

$$2 m_1 - 2 m_2 < m_1 + m_2$$

$$m_1 < 3 m_2$$

$$\frac{m_1}{m_2} < 3$$

問4:

1回目の衝突では、壁が小球1に与えた仕事は、小球1の運動エネルギーの変化に等しい。

$$W_1 = \frac{1}{2} m_1 (2V)^2 - \frac{1}{2} m_1 (0)^2 = 2 m_1 V^2$$

2回目の衝突では、小球1の速度は $v_1 = \frac{2 (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} V$ である。

壁との衝突後の小球1の速度を $v_1''$ とすると、

$$-(v_1'' - V) = V - v_1$$

$$-v_1'' + V = V - v_1$$

$$v_1'' = v_1 = \frac{2 (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} V$$

したがって、壁が小球1に与えた仕事は

$$W_2 = \frac{1}{2} m_1 v_1''^2 - \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = 0$$

したがって、壁が小球1にした仕事の和は

$$W = W_1 + W_2 = 2 m_1 V^2 + 0 = 2 m_1 V^2$$

3. 最終的な答え

問1: $2V$

問2: $v_1 = \frac{2(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} V$, $v_2 = \frac{4m_1}{m_1 + m_2} V$

問3: $\frac{m_1}{m_2} < 3$

問4: $2 m_1 V^2$