双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の漸近線が $x=3$ と $y=2$ であり、点 $(1, 1)$ を通るとき、$a, b, c, d$ を求める問題です。

1. 問題の内容

双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の漸近線が $x=3$ と $y=2$ であり、点 $(1, 1)$ を通るとき、$a, b, c, d$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x=3$ が漸近線であることから、$cx+d=0$ となる $x$ の値が $3$ である必要があります。したがって、

$3c + d = 0$

$d = -3c$

次に、$y=2$ が漸近線であることから、$\lim_{x \to \infty} \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c} = 2$ となります。

$a = 2c$

したがって、$y = \frac{2cx+b}{cx-3c} = \frac{2x+b/c}{x-3}$ となります。ここで、$\frac{b}{c}$ を $B$ とおくと、

$y = \frac{2x+B}{x-3}$

この双曲線が点 $(1, 1)$ を通るので、$x=1, y=1$ を代入します。

$1 = \frac{2(1)+B}{1-3}$

$1 = \frac{2+B}{-2}$

$-2 = 2+B$

$B = -4$

よって、

$y = \frac{2x-4}{x-3}$

したがって、$a=2$, $b=-4$, $c=1$, $d=-3$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-4}{x-3}$