双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ のグラフが、2つの直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る時、関数 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ を決定する。

1. 問題の内容

双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ のグラフが、2つの直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る時、関数 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ を決定する。

2. 解き方の手順

まず、漸近線の情報から、$c$ と $d$ の関係、$a$ と $c$ の関係を求めます。

$x=2$ が漸近線であることから、$cx+d = 0$ となる $x$ が 2 である必要があるので、

$2c + d = 0$。したがって、$d = -2c$

$y=-1$ が漸近線であることから、$\lim_{x\to\infty} \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c} = -1$。したがって、$a = -c$

これらの関係を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ に代入すると、$y = \frac{-cx+b}{cx-2c} = \frac{-x + \frac{b}{c}}{x-2}$ となります。

次に、グラフが点 $(3,2)$ を通るという条件から、$b$ を求めます。

点 $(3,2)$ を代入して、

$2 = \frac{-3 + \frac{b}{c}}{3-2} = -3 + \frac{b}{c}$

したがって、$\frac{b}{c} = 5$。つまり、$b=5c$

したがって、$y = \frac{-cx+5c}{cx-2c}$。$c$ で割って、$y = \frac{-x+5}{x-2}$

ここで、$a = -c$, $b = 5c$, $d = -2c$ です。$c$ は 0 でない任意の実数です。$c=1$ とすると、$a=-1, b=5, c=1, d=-2$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+5}{x-2}$