関数 $y = \frac{2x + a}{x + b}$ のグラフが x 軸と点 (3, 0) で、y 軸と点 (0, -2) で交わるとき、定数 a, b の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x + a}{x + b}$ のグラフが x 軸と点 (3, 0) で、y 軸と点 (0, -2) で交わるとき、定数 a, b の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、グラフが点 (3, 0) を通ることから、$x = 3$ のとき $y = 0$ が成り立つ。したがって、

$$0 = \frac{2(3) + a}{3 + b}$$

$$0 = \frac{6 + a}{3 + b}$$

分子が 0 であれば全体が 0 となるので、

$$6 + a = 0$$

$$a = -6$$

次に、グラフが点 (0, -2) を通ることから、$x = 0$ のとき $y = -2$ が成り立つ。したがって、

$$-2 = \frac{2(0) + a}{0 + b}$$

$$-2 = \frac{a}{b}$$

上で求めた $a = -6$ を代入すると、

$$-2 = \frac{-6}{b}$$

$$b = \frac{-6}{-2}$$

$$b = 3$$

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 3$