不等式 $\frac{3x}{x+2} > -x+2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{3x}{x+2} > -x+2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を左辺に移項します。

$$\frac{3x}{x+2} + x - 2 > 0$$

次に、左辺を通分します。

$$\frac{3x + (x-2)(x+2)}{x+2} > 0$$

分子を展開して整理します。

$$\frac{3x + x^2 - 4}{x+2} > 0$$

$$\frac{x^2 + 3x - 4}{x+2} > 0$$

分子を因数分解します。

$$\frac{(x+4)(x-1)}{x+2} > 0$$

次に、不等号が0になる点を探します。

$x = -4, x = 1, x = -2$

これらの値に基づいて、数直線を4つの区間に分け、各区間で不等式の符号を調べます。

1. $x < -4$ のとき、$x+4 < 0$, $x-1 < 0$, $x+2 < 0$ なので、$\frac{(x+4)(x-1)}{x+2} < 0$

2. $-4 < x < -2$ のとき、$x+4 > 0$, $x-1 < 0$, $x+2 < 0$ なので、$\frac{(x+4)(x-1)}{x+2} > 0$

3. $-2 < x < 1$ のとき、$x+4 > 0$, $x-1 < 0$, $x+2 > 0$ なので、$\frac{(x+4)(x-1)}{x+2} < 0$

4. $x > 1$ のとき、$x+4 > 0$, $x-1 > 0$, $x+2 > 0$ なので、$\frac{(x+4)(x-1)}{x+2} > 0$

したがって、不等式が成り立つのは $-4 < x < -2$ または $x > 1$ のときです。

3. 最終的な答え

$-4 < x < -2$ または $x > 1$