関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(5) = 4$、$f^{-1}(-5) = -1$ である。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(5) = 4$、$f^{-1}(-5) = -1$ である。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

逆関数の定義より、$f^{-1}(5) = 4$ は $f(4) = 5$ と同値であり、$f^{-1}(-5) = -1$ は $f(-1) = -5$ と同値である。

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$4a + b = 5$

$-a + b = -5$

この連立方程式を解く。1式目から2式目を引くと、

$5a = 10$

したがって、

$a = 2$

$a = 2$ を2式目に代入すると、

$-2 + b = -5$

$b = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$