与えられた方程式の左辺を因数分解し、その解を求める問題です。

はい、承知いたしました。それでは、画像に示された問題(3)の中から、問題(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた方程式の左辺を因数分解し、その解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 1 = 0$

* 因数分解：$x^3 - 1$ は $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用して因数分解できます。この場合、$a = x$、$b = 1$ です。

$$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$$

* 解を求める：

* $x - 1 = 0$ より、$x = 1$

* $x^2 + x + 1 = 0$ は解の公式を用いて解きます。

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$

(2) $27x^3 + 8 = 0$

* 因数分解：$27x^3 + 8$ は $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用して因数分解できます。この場合、$a = 3x$、$b = 2$ です。

$$27x^3 + 8 = (3x + 2)(9x^2 - 6x + 4)$$

* 解を求める：

* $3x + 2 = 0$ より、$x = -\frac{2}{3}$

* $9x^2 - 6x + 4 = 0$ は解の公式を用いて解きます。

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(9)(4)}}{2(9)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{-108}}{18} = \frac{6 \pm 6i\sqrt{3}}{18} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{3}$$

(3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

* 変数変換：$y = x^2$ とおくと、$y^2 - 7y + 12 = 0$

* 因数分解：$(y - 3)(y - 4) = 0$

* $y$ の解：$y = 3, 4$

* $x$ の解：$x^2 = 3$ より $x = \pm\sqrt{3}$, $x^2 = 4$ より $x = \pm 2$

(4) $x^4 + 8x = 0$

* 因数分解：$x(x^3 + 8) = 0$

* $x=0$ または $x^3 + 8 = 0$。$x^3 + 8$ は $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用して因数分解できます。この場合、$a = x$、$b = 2$ です。

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

* 解を求める：

* $x = 0$

* $x + 2 = 0$ より、$x = -2$

* $x^2 - 2x + 4 = 0$ は解の公式を用いて解きます。

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$$

(5) $x^3 - 5x^2 + 4 = 0$

* 因数定理：$x=1$ を代入すると、$1 - 5 + 4 = 0$ となるので、$x-1$を因数に持つ。

* 組み立て除法などを用いて因数分解すると、

$(x - 1)(x^2 - 4x - 4) = 0$

* 解を求める：

* $x - 1 = 0$ より、$x = 1$

* $x^2 - 4x - 4 = 0$ は解の公式を用いて解きます。

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$$

(6) $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$

* 因数定理：$x=-1$ を代入すると、$-1 - 2 - 1 + 4 = 0$ となるので、$x+1$を因数に持つ。

* 組み立て除法などを用いて因数分解すると、

$(x + 1)(x^2 - 3x + 4) = 0$

* 解を求める：

* $x + 1 = 0$ より、$x = -1$

* $x^2 - 3x + 4 = 0$ は解の公式を用いて解きます。

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = -\frac{2}{3}, \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{3}$

(3) $x = \pm\sqrt{3}, \pm 2$

(4) $x = 0, -2, 1 \pm i\sqrt{3}$

(5) $x = 1, 2 \pm 2\sqrt{2}$

(6) $x = -1, \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$