与えられた6つの方程式の左辺を因数分解し、その解を求める問題です。 (1) $x^3 - 1 = 0$ (2) $27x^3 + 8 = 0$ (3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$ (4) $x^4 + 8x = 0$ (5) $x^3 - 5x^2 + 4 = 0$ (6) $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$

1. 問題の内容

与えられた6つの方程式の左辺を因数分解し、その解を求める問題です。

(1) $x^3 - 1 = 0$

(2) $27x^3 + 8 = 0$

(3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

(4) $x^4 + 8x = 0$

(5) $x^3 - 5x^2 + 4 = 0$

(6) $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 1 = 0$

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$

$x-1 = 0$ より $x=1$。

$x^2 + x + 1 = 0$ より、解の公式を使って、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

(2) $27x^3 + 8 = 0$

$(3x)^3 + 2^3 = (3x+2)(9x^2 - 6x + 4) = 0$

$3x+2 = 0$ より $x = -\frac{2}{3}$。

$9x^2 - 6x + 4 = 0$ より、解の公式を使って、$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(9)(4)}}{2(9)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{-108}}{18} = \frac{6 \pm 6i\sqrt{3}}{18} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{3}$.

(3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

$y = x^2$ とすると、$y^2 - 7y + 12 = 0$.

$(y-3)(y-4) = 0$ より、$y = 3, 4$.

$x^2 = 3$ より、$x = \pm \sqrt{3}$.

$x^2 = 4$ より、$x = \pm 2$.

(4) $x^4 + 8x = 0$

$x(x^3 + 8) = x(x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

$x=0$, $x+2 = 0$ より $x = -2$.

$x^2 - 2x + 4 = 0$ より、解の公式を使って、$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$.

(5) $x^3 - 5x^2 + 4 = 0$

$x = 1$ を代入すると $1^3 - 5(1^2) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$ となるので、$x-1$ を因数に持つ。

$(x-1)(x^2 - 4x - 4) = 0$

$x=1$, $x^2 - 4x - 4 = 0$ より、解の公式を使って、$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.

(6) $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$

$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$ となるので、$x+1$ を因数に持つ。

$(x+1)(x^2 - 3x + 4) = 0$

$x = -1$, $x^2 - 3x + 4 = 0$ より、解の公式を使って、$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = -\frac{2}{3}, \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{3}$

(3) $x = \pm \sqrt{3}, \pm 2$

(4) $x = 0, -2, 1 \pm i\sqrt{3}$

(5) $x = 1, 2 \pm 2\sqrt{2}$

(6) $x = -1, \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$