次の方程式の左辺を因数分解し、その解を求めてください。 (1) $x^3 - 1 = 0$ (2) $27x^3 + 8 = 0$ (3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$ (4) $x^4 + 8x = 0$ (5) $x^3 - 5x^2 + 4 = 0$ (6) $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$

はい、承知いたしました。問題文に記載された方程式を順番に解いていきます。

1. 問題の内容

次の方程式の左辺を因数分解し、その解を求めてください。

(1) $x^3 - 1 = 0$

(2) $27x^3 + 8 = 0$

(3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

(4) $x^4 + 8x = 0$

(5) $x^3 - 5x^2 + 4 = 0$

(6) $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 1 = 0$

これは $x^3 = 1$ と変形できます。

因数分解すると、$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$ となります。

したがって、$x = 1$ または $x^2 + x + 1 = 0$ です。

$x^2 + x + 1 = 0$ を解の公式で解くと、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ となります。

(2) $27x^3 + 8 = 0$

これは $(3x)^3 + 2^3 = 0$ と見なせます。

和の3乗の公式を用いて因数分解すると、$(3x + 2)(9x^2 - 6x + 4) = 0$ となります。

したがって、$3x + 2 = 0$ または $9x^2 - 6x + 4 = 0$ です。

$3x + 2 = 0$ から $x = -\frac{2}{3}$ が得られます。

$9x^2 - 6x + 4 = 0$ を解の公式で解くと、$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{-108}}{18} = \frac{6 \pm 6i\sqrt{3}}{18} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{3}$ となります。

(3) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

$y = x^2$ とおくと、$y^2 - 7y + 12 = 0$ となります。

これを因数分解すると、$(y - 3)(y - 4) = 0$ となります。

したがって、$y = 3$ または $y = 4$ です。

$x^2 = 3$ から $x = \pm \sqrt{3}$ が得られます。

$x^2 = 4$ から $x = \pm 2$ が得られます。

(4) $x^4 + 8x = 0$

$x(x^3 + 8) = 0$ と因数分解できます。

したがって、$x = 0$ または $x^3 + 8 = 0$ です。

$x^3 + 8 = 0$ は $x^3 = -8$ と変形できます。

$x^3 = (-2)^3$ なので、$x = -2$ が一つの解です。

因数分解すると、$x(x+2)(x^2 -2x +4) = 0$

$x^2 -2x +4=0$ を解の公式で解くと、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$

(5) $x^3 - 5x^2 + 4 = 0$

$x = 1$ を代入すると、$1 - 5 + 4 = 0$ となり、成り立つので、$x - 1$ を因数に持ちます。

組立除法により、$x^3 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x^2 - 4x - 4) = 0$ となります。

したがって、$x = 1$ または $x^2 - 4x - 4 = 0$ です。

$x^2 - 4x - 4 = 0$ を解の公式で解くと、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$ となります。

(6) $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$

$x = -1$ を代入すると、$-1 - 2 - 1 + 4 = 0$ となり、成り立つので、$x + 1$ を因数に持ちます。

組立除法により、$x^3 - 2x^2 + x + 4 = (x + 1)(x^2 - 3x + 4) = 0$ となります。

したがって、$x = -1$ または $x^2 - 3x + 4 = 0$ です。

$x^2 - 3x + 4 = 0$ を解の公式で解くと、$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = -\frac{2}{3}, \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{3}$

(3) $x = \pm \sqrt{3}, \pm 2$

(4) $x = 0, -2, 1 \pm i\sqrt{3}$

(5) $x = 1, 2 \pm 2\sqrt{2}$

(6) $x = -1, \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$