(1) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 - 2x + b$ が $x+3$ で割り切れ、$x-2$ で割ると $5$ 余るとき、定数 $a, b$ を求める。 (2) 多項式 $P(x)$ を $x+2, x-3$ で割ったときの余りが、それぞれ $4, 1$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 - 2x + b$ が $x+3$ で割り切れ、$x-2$ で割ると $5$ 余るとき、定数 $a, b$ を求める。

(2) 多項式 $P(x)$ を $x+2, x-3$ で割ったときの余りが、それぞれ $4, 1$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x+3$ で割り切れるということは、$P(-3) = 0$。また、$x-2$ で割ると $5$ 余るということは、$P(2) = 5$。これらを代入して連立方程式を解く。

$P(-3) = (-3)^3 + a(-3)^2 - 2(-3) + b = -27 + 9a + 6 + b = 9a + b - 21 = 0$

$P(2) = (2)^3 + a(2)^2 - 2(2) + b = 8 + 4a - 4 + b = 4a + b + 4 = 5$

したがって、

$9a + b = 21$

$4a + b = 1$

上の式から下の式を引くと、$5a = 20$ より $a = 4$。これを $4a+b=1$ に代入すると、$4(4) + b = 1$ より $b = 1 - 16 = -15$。

よって、$a=4, b=-15$。

(2)

$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $4$ より、$P(-2) = 4$。$P(x)$ を $x-3$ で割った余りが $1$ より、$P(3) = 1$。

$P(x)$ を $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$P(x) = (x^2-x-6)Q(x) + ax+b$

$x=-2$ のとき、$P(-2) = -2a+b = 4$

$x=3$ のとき、$P(3) = 3a+b = 1$

したがって、

$-2a + b = 4$

$3a + b = 1$

下の式から上の式を引くと、$5a = -3$ より $a = -\frac{3}{5}$。これを $-2a+b=4$ に代入すると、$-2(-\frac{3}{5}) + b = 4$ より $b = 4 - \frac{6}{5} = \frac{20-6}{5} = \frac{14}{5}$。

したがって、余りは $-\frac{3}{5}x + \frac{14}{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $a=4, b=-15$

(2) $-\frac{3}{5}x + \frac{14}{5}$