3点 $(-1, -5)$, $(2, 1)$, $(1, 1)$ を通る放物線の方程式を $y = -x^2 + ax - b$ の形で求める。すなわち、$a$ と $b$ の値を求めたい。

1. 問題の内容

3点 $(-1, -5)$, $(2, 1)$, $(1, 1)$ を通る放物線の方程式を $y = -x^2 + ax - b$ の形で求める。すなわち、$a$ と $b$ の値を求めたい。

2. 解き方の手順

与えられた3点の座標を方程式 $y = -x^2 + ax - b$ に代入し、$a$ と $b$ に関する連立方程式を立てる。

点 $(-1, -5)$ を代入すると、

$-5 = -(-1)^2 + a(-1) - b$

$-5 = -1 - a - b$

$a + b = 4$ ...(1)

点 $(2, 1)$ を代入すると、

$1 = -(2)^2 + a(2) - b$

$1 = -4 + 2a - b$

$2a - b = 5$ ...(2)

点 $(1, 1)$ を代入すると、

$1 = -(1)^2 + a(1) - b$

$1 = -1 + a - b$

$a - b = 2$ ...(3)

(1)と(3)を連立方程式として解く。

$a + b = 4$

$a - b = 2$

2つの式を足すと、

$2a = 6$

$a = 3$

$a = 3$を(1)に代入すると、

$3 + b = 4$

$b = 1$

(2)を使って検算をする。

$2(3) - b = 5$

$6 - b = 5$

$b = 1$

(3)を使って検算をする。

$3 - b = 2$

$b = 1$

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = 1$

よって、放物線の方程式は $y = -x^2 + 3x - 1$