関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の逆関数を求めます。

$y = \frac{2x+1}{x-p}$ を $x$ について解きます。

$y(x-p) = 2x+1$

$yx - py = 2x + 1$

$yx - 2x = py + 1$

$x(y-2) = py+1$

$x = \frac{py+1}{y-2}$

逆関数は $x$ と $y$ を入れ替えることで得られるので、逆関数は

$y = \frac{px+1}{x-2}$

この逆関数が元の関数と一致するという条件から、

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{px+1}{x-2}$

となるはずです。

この式が成り立つためには、$p=2$ であれば、$2x+1=2x+1$ かつ $x-p = x-2$ となるため成り立ちます。

分子が同じであることから、

$2x+1 = px+1$

$2 = p$

分母が同じであることから、

$x-p=x-2$

$p=2$

いずれにしても、$p=2$が得られます。

3. 最終的な答え

$p = 2$