次の複素数方程式を解き、解を複素数平面上に図示します。 (1) $z^2 = i$ (2) $z^4 = -4$ (3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$

1. 問題の内容

次の複素数方程式を解き、解を複素数平面上に図示します。

(1) $z^2 = i$

(2) $z^4 = -4$

(3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$

2. 解き方の手順

(1) $z^2 = i$ を解きます。

$z = x + yi$ とおくと、

$(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = i$

よって、$x^2 - y^2 = 0$ かつ $2xy = 1$

$x^2 = y^2$ より、$y = \pm x$

$2xy = 1$ より、$y = x$ である。

$2x^2 = 1$ よって、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 、

$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

解は $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, $z = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

複素数平面上では、それぞれ偏角 $\frac{\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ の点に対応します。

(2) $z^4 = -4$ を解きます。

$-4 = 4(\cos \pi + i\sin \pi)$

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とすると、

$z^4 = r^4(\cos 4\theta + i \sin 4\theta) = 4(\cos \pi + i \sin \pi)$

したがって、$r^4 = 4$ より $r = \sqrt{2}$

$4\theta = \pi + 2n\pi$ より $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ (nは整数)

$n = 0, 1, 2, 3$ を代入すると、

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

解は

$z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = 1 + i$

$z = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}) = -1 + i$

$z = \sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}) = -1 - i$

$z = \sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}) = 1 - i$

複素数平面上では、それぞれ偏角 $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4}$ の点に対応します。

(3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$ を解きます。

$1 + \sqrt{3}i = 2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とすると、

$z^2 = r^2(\cos 2\theta + i \sin 2\theta) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

したがって、$r^2 = 2$ より $r = \sqrt{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ より $\theta = \frac{\pi}{6} + n\pi$ (nは整数)

$n = 0, 1$ を代入すると、

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

解は

$z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$

$z = \sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}) = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

複素数平面上では、それぞれ偏角 $\frac{\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6}$ の点に対応します。

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, $z = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

(2) $z = 1 + i$, $z = -1 + i$, $z = -1 - i$, $z = 1 - i$

(3) $z = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, $z = -\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$