関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の逆関数を求める。

$y = \frac{ax+1}{x+2}$ を $x$ について解く。

$y(x+2) = ax+1$

$yx+2y = ax+1$

$yx-ax = 1-2y$

$x(y-a) = 1-2y$

$x = \frac{1-2y}{y-a}$

したがって、逆関数は $y = \frac{1-2x}{x-a}$ となる。

問題文より、逆関数が元の関数と一致するので、

$\frac{ax+1}{x+2} = \frac{1-2x}{x-a}$ が成り立つ。

$ax^2 - a^2x + x - ax = x - 2x^2 + 2 - ax$

$ax^2 - a^2x + x - ax = -2x^2 -2x + 1$

分母を払うと、

$(ax+1)(x-a) = (x+2)(1-2x)$

$ax^2 - a^2x + x - a = x - 2x^2 + 2 - 4x$

$ax^2 - a^2x -a = -2x^2-3x +2$

この関数が元の関数と一致するためには、

$\frac{ax+1}{x+2}=\frac{1-2x}{x-a}$より、

$y = \frac{ax+1}{x+2}$ と $y = \frac{1-2x}{x-a}$ が一致する。

これは、

$ax^2 - a^2x + x - a = -2x^2 -3x+2$

$ax+1=-2x-3$

$x+2 = 1 - 3x$ が任意のxで成り立つことを意味する。

または、与えられた関数が逆関数と一致するということは、

$f(f(x))=x$ であるということである。

$f(x) = \frac{ax+1}{x+2}$ とすると、

$f(f(x)) = \frac{a(\frac{ax+1}{x+2})+1}{\frac{ax+1}{x+2}+2} = \frac{a(ax+1)+x+2}{ax+1+2(x+2)} = \frac{a^2x+a+x+2}{ax+1+2x+4} = \frac{(a^2+1)x+a+2}{(a+2)x+5}$

これが $x$ に等しいということは、

$\frac{(a^2+1)x+a+2}{(a+2)x+5} = x$

$(a^2+1)x+a+2 = (a+2)x^2 + 5x$

$(a+2)x^2 + (5-a^2-1)x - a - 2 = 0$

$(a+2)x^2 + (4-a^2)x - (a+2) = 0$

$(a+2)(x^2 - 1) + (4-a^2)x = 0$

$(a+2)(x^2-1) - (a+2)(a-2)x = 0$

あるいは、

元の関数と逆関数が一致するためには、

$a = -2$ であればよい。

または、関数が逆関数と一致するための条件として、漸近線の傾きが-1になるというのがある。

つまり、$a=-2$となる。

3. 最終的な答え

$a = -2$