(1) 実数 $x, y$ について、$x - y = 1$ のとき、$x^2 - 2y^2$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。 (2) 実数 $x, y$ について、$2x^2 + y^2 = 8$ のとき、$x^2 + y^2 - 2x$ の最大値、最小値を次の手順で求めよ。 (i) $x^2 + y^2 - 2x$ を $x$ で表せ。 (ii) $x$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (iii) $x^2 + y^2 - 2x$ の最大値、最小値を求めよ。 (3) $y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3$ について、次の問いに答えよ。 (i) $x^2 + 2x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ で表せ。 (ii) $-2 \le x \le 1$ のとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (iii) $-2 \le x \le 1$ のとき、$y$ の最大値、最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 実数 $x, y$ について、$x - y = 1$ のとき、$x^2 - 2y^2$ の最大値とそのときの $x, y$ の値を求めよ。

(2) 実数 $x, y$ について、$2x^2 + y^2 = 8$ のとき、$x^2 + y^2 - 2x$ の最大値、最小値を次の手順で求めよ。

(i) $x^2 + y^2 - 2x$ を $x$ で表せ。

(ii) $x$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(iii) $x^2 + y^2 - 2x$ の最大値、最小値を求めよ。

(3) $y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3$ について、次の問いに答えよ。

(i) $x^2 + 2x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ で表せ。

(ii) $-2 \le x \le 1$ のとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(iii) $-2 \le x \le 1$ のとき、$y$ の最大値、最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x - y = 1$ より、$y = x - 1$。これを $x^2 - 2y^2$ に代入すると、

$x^2 - 2(x - 1)^2 = x^2 - 2(x^2 - 2x + 1) = x^2 - 2x^2 + 4x - 2 = -x^2 + 4x - 2$

平方完成すると、

$-(x^2 - 4x) - 2 = -(x^2 - 4x + 4) - 2 + 4 = -(x - 2)^2 + 2$

$x = 2$ のとき、最大値 2 をとる。

このとき、$y = x - 1 = 2 - 1 = 1$。

(2)

(i) $2x^2 + y^2 = 8$ より、$y^2 = 8 - 2x^2$。

これを $x^2 + y^2 - 2x$ に代入すると、

$x^2 + (8 - 2x^2) - 2x = -x^2 - 2x + 8$

(ii) $y^2 = 8 - 2x^2 \ge 0$ より、$2x^2 \le 8$。

$x^2 \le 4$。

$-2 \le x \le 2$。

(iii) $f(x) = -x^2 - 2x + 8$ とおく。

$f(x) = -(x^2 + 2x) + 8 = -(x^2 + 2x + 1) + 8 + 1 = -(x + 1)^2 + 9$

$x \in [-2, 2]$ より、

$x = -1$ のとき、最大値 $f(-1) = 9$。

$x = 2$ のとき、最小値 $f(2) = -4 - 4 + 8 = 0$。

(3)

(i) $y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) + x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x)^2 + (x^2 + 2x) + 3$

$x^2 + 2x = t$ より、$y = t^2 + t + 3$

(ii) $t = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$

$-2 \le x \le 1$ より、

$x = -1$ のとき、最小値 $t = -1$。

$x = 1$ のとき、最大値 $t = 1^2 + 2(1) = 3$。

$-1 \le t \le 3$。

(iii) $y = t^2 + t + 3 = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 3 = (t + \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$

$t \in [-1, 3]$ より、

$t = 3$ のとき、最大値 $y = 3^2 + 3 + 3 = 9 + 3 + 3 = 15$。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値 $y = \frac{11}{4}$。

しかし、$t = -\frac{1}{2}$ は $t$ の範囲に含まれるため、$t = -1$ のとき $y = (-1)^2 + (-1) + 3 = 1 - 1 + 3 = 3$ となり、$t = -\frac{1}{2}$ を取ることは出来ない。

$t = -1$ のとき、$y = 3$

$t = 3$ のとき、$y = 15$。

最大値は $y = 15$。

最小値は $y = 3$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2, ($x$, $y$) = (2, 1)

(2) (i) $-x^2 - 2x + 8$

(ii) $-2 \le x \le 2$

(iii) 最大値: 9, 最小値: 0

(3) (i) $y = t^2 + t + 3$

(ii) $-1 \le t \le 3$

(iii) 最大値: 15, 最小値: 3