不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$x-1$ が 0 でないことを確認する。つまり、$x \neq 1$ である。

与えられた不等式を整理するために、$x-1$を左辺に移項する。

$\frac{1}{x-1} - (x-1) < 0$

左辺を通分する。

$\frac{1 - (x-1)^2}{x-1} < 0$

分子を展開して整理する。

$\frac{1 - (x^2 - 2x + 1)}{x-1} < 0$

$\frac{1 - x^2 + 2x - 1}{x-1} < 0$

$\frac{-x^2 + 2x}{x-1} < 0$

$\frac{-x(x-2)}{x-1} < 0$

$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$

不等号の向きを反転させるために、分子と分母に-1をかける。

$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$

この不等式を解くために、数直線を使い、$x=0, x=1, x=2$ を境界として区間を分ける。

- $x<0$のとき、$x<0$, $x-2<0$, $x-1<0$なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} < 0$ となり、不等式を満たさない。

- $0<x<1$のとき、$x>0$, $x-2<0$, $x-1<0$なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ となり、不等式を満たす。

- $1<x<2$のとき、$x>0$, $x-2<0$, $x-1>0$なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} < 0$ となり、不等式を満たさない。

- $x>2$のとき、$x>0$, $x-2>0$, $x-1>0$なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ となり、不等式を満たす。

したがって、$0 < x < 1$ または $x > 2$

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ または $x > 2$