不等式 $x - 3 \geq \frac{2x}{x-2}$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $x - 3 \geq \frac{2x}{x-2}$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$x \neq 2$ であることに注意する。

両辺に $x-2$ を掛けることを考えますが、$x-2$ の符号によって不等号の向きが変わるため、場合分けが必要です。

(1) $x-2 > 0$、つまり $x > 2$ のとき

$(x-3)(x-2) \geq 2x$

$x^2 - 5x + 6 \geq 2x$

$x^2 - 7x + 6 \geq 0$

$(x-1)(x-6) \geq 0$

この不等式を満たすのは、$x \leq 1$ または $x \geq 6$。

$x > 2$ の条件と合わせて、$x \geq 6$。

(2) $x-2 < 0$、つまり $x < 2$ のとき

$(x-3)(x-2) \leq 2x$

$x^2 - 5x + 6 \leq 2x$

$x^2 - 7x + 6 \leq 0$

$(x-1)(x-6) \leq 0$

この不等式を満たすのは、$1 \leq x \leq 6$。

$x < 2$ の条件と合わせて、$1 \leq x < 2$。

(1) と (2) を合わせると、$x \geq 6$ または $1 \leq x < 2$。

3. 最終的な答え

$1 \leq x < 2$, $x \geq 6$